cho m(2;-1). đường thẳng d:3x-4y-12=0. viết trình đường thẳng ∆ qua m và tạo với d một góc 45°

Question

Timi · Accepted Answer

Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2; -1)$ và tạo với đường thẳng $d: 3x - 4y - 12 = 0$ một góc $45^\circ$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình $3x - 4y - 12 = 0$. Chuyển về dạng $y = mx + n$:
   $$
   3x - 4y - 12 = 0 \implies -4y = -3x + 12 \implies y = \frac{3}{4}x - 3
   $$
   Vậy hệ số góc của đường thẳng $d$ là $m_d = \frac{3}{4}$.

2. Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:
   Gọi hệ số góc của đường thẳng $\Delta$ là $m_\Delta$. Ta biết rằng góc giữa hai đường thẳng là $45^\circ$, do đó:
   $$
   \tan 45^\circ = 1 = \left| \frac{m_\Delta - m_d}{1 + m_\Delta m_d} \right|
   $$
   Thay $m_d = \frac{3}{4}$ vào:
   $$
   1 = \left| \frac{m_\Delta - \frac{3}{4}}{1 + m_\Delta \cdot \frac{3}{4}} \right|
   $$

3. Giải phương trình để tìm $m_\Delta$:
   Ta có hai trường hợp:
   $$
   \frac{m_\Delta - \frac{3}{4}}{1 + m_\Delta \cdot \frac{3}{4}} = 1 \quad \text{hoặc} \quad \frac{m_\Delta - \frac{3}{4}}{1 + m_\Delta \cdot \frac{3}{4}} = -1
   $$

Trường hợp 1:
   $$
   \frac{m_\Delta - \frac{3}{4}}{1 + m_\Delta \cdot \frac{3}{4}} = 1
   $$
   Nhân cả hai vế với $1 + m_\Delta \cdot \frac{3}{4}$:
   $$
   m_\Delta - \frac{3}{4} = 1 + m_\Delta \cdot \frac{3}{4}
   $$
   $$
   m_\Delta - m_\Delta \cdot \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4}
   $$
   $$
   m_\Delta \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{7}{4}
   $$
   $$
   m_\Delta \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4}
   $$
   $$
   m_\Delta = 7
   $$

Trường hợp 2:
   $$
   \frac{m_\Delta - \frac{3}{4}}{1 + m_\Delta \cdot \frac{3}{4}} = -1
   $$
   Nhân cả hai vế với $1 + m_\Delta \cdot \frac{3}{4}$:
   $$
   m_\Delta - \frac{3}{4} = -1 - m_\Delta \cdot \frac{3}{4}
   $$
   $$
   m_\Delta + m_\Delta \cdot \frac{3}{4} = -1 + \frac{3}{4}
   $$
   $$
   m_\Delta \left(1 + \frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{4}
   $$
   $$
   m_\Delta \cdot \frac{7}{4} = -\frac{1}{4}
   $$
   $$
   m_\Delta = -\frac{1}{7}
   $$

4. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$:
   - Với $m_\Delta = 7$:
     $$
     y + 1 = 7(x - 2) \implies y + 1 = 7x - 14 \implies y = 7x - 15
     $$
   - Với $m_\Delta = -\frac{1}{7}$:
     $$
     y + 1 = -\frac{1}{7}(x - 2) \implies y + 1 = -\frac{1}{7}x + \frac{2}{7} \implies y = -\frac{1}{7}x - \frac{5}{7}
     $$

Vậy phương trình của đường thẳng $\Delta$ là:
$$
y = 7x - 15 \quad \text{hoặc} \quad y = -\frac{1}{7}x - \frac{5}{7}
$$