Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu30: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác, cụ thể là tang của một góc. Bước 1: Xác định các thông tin đã biết: - Độ cao từ người đến mặt đất là 6,7m. - Chiều dài của cái thang là 7,4m. Bước 2: Xác định góc cần tìm: - Chúng ta cần tìm góc giữa chân thang và mặt đất, tức là góc tạo bởi chân thang và mặt đất. Bước 3: Áp dụng công thức tỉ số lượng giác: - Trong tam giác vuông, tang của một góc bằng tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề. Bước 4: Xác định các cạnh trong tam giác vuông: - Cạnh đối diện với góc cần tìm là độ cao từ người đến mặt đất, tức là 6,7m. - Cạnh kề với góc cần tìm là chiều dài của cái thang, tức là 7,4m. Bước 5: Tính tang của góc: \[ \tan(\theta) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{6,7}{7,4} \] Bước 6: Tính giá trị của góc: \[ \theta = \arctan\left(\frac{6,7}{7,4}\right) \] Bước 7: Sử dụng máy tính để tính giá trị của góc: \[ \theta \approx \arctan(0,9054) \approx 42^\circ \] Vậy góc giữa chân thang và mặt đất là khoảng 42 độ. Đáp số: 42 độ. Câu 31: Gọi vận tốc xe du lịch là \( v_{du} \) (km/h) và vận tốc xe tải là \( v_{tai} \) (km/h). Theo đề bài, ta có: \[ v_{tai} = v_{du} - 20 \] Thời gian xe du lịch đã đi trước xe tải là 17 phút, tức là: \[ \frac{17}{60} \text{ giờ} \] Khi hai xe gặp nhau, tổng thời gian xe du lịch đã đi là: \[ \frac{17}{60} + \frac{28}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \text{ giờ} \] Quãng đường xe du lịch đã đi là: \[ v_{du} \times \frac{3}{4} \] Quãng đường xe tải đã đi là: \[ v_{tai} \times \frac{28}{60} = v_{tai} \times \frac{7}{15} \] Tổng quãng đường hai xe đã đi là 88 km, nên ta có phương trình: \[ v_{du} \times \frac{3}{4} + v_{tai} \times \frac{7}{15} = 88 \] Thay \( v_{tai} = v_{du} - 20 \) vào phương trình trên: \[ v_{du} \times \frac{3}{4} + (v_{du} - 20) \times \frac{7}{15} = 88 \] Nhân cả hai vế với 60 để khử mẫu: \[ 45v_{du} + 28(v_{du} - 20) = 5280 \] \[ 45v_{du} + 28v_{du} - 560 = 5280 \] \[ 73v_{du} - 560 = 5280 \] \[ 73v_{du} = 5840 \] \[ v_{du} = \frac{5840}{73} \] \[ v_{du} = 80 \] Vậy vận tốc xe du lịch là 80 km/h. Câu 32: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và dây cung, cũng như tính chất của tam giác nội tiếp. Bước 1: Xác định các yếu tố đã cho: - Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). - Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I. - AB = 20 cm, AC = 28 cm, BC = 24 cm. Bước 2: Áp dụng tính chất tiếp tuyến và dây cung: Theo tính chất tiếp tuyến và dây cung, góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung. Do đó, ta có: \[ \angle IAB = \angle ACB \] \[ \angle IAC = \angle ABC \] Bước 3: Xác định các đoạn thẳng: - Vì IA là tiếp tuyến nên góc IAB và góc IAC là góc giữa tiếp tuyến và dây cung. - Ta cần tìm tổng \( IA + IC \). Bước 4: Áp dụng tính chất tam giác nội tiếp: - Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), do đó các góc nội tiếp cùng chắn một cung sẽ bằng nhau. - Ta có: \( \angle BAC = \angle BIC \) (góc nội tiếp cùng chắn cung BC). Bước 5: Xác định các đoạn thẳng bằng cách sử dụng tính chất tam giác: - Ta thấy rằng tam giác ABI và tam giác ACI có chung góc IAC và góc IAB. - Do đó, tam giác ABI và tam giác ACI là tam giác đồng dạng theo tỉ lệ cạnh. Bước 6: Tính toán: - Ta có: \( \frac{IA}{IB} = \frac{AC}{AB} \) - Thay các giá trị đã cho vào: \[ \frac{IA}{IB} = \frac{28}{20} = \frac{7}{5} \] - Ta cũng có: \( \frac{IA}{IC} = \frac{AB}{AC} \) - Thay các giá trị đã cho vào: \[ \frac{IA}{IC} = \frac{20}{28} = \frac{5}{7} \] Bước 7: Tìm tổng \( IA + IC \): - Ta có: \( IA = \frac{7}{5} IB \) và \( IC = \frac{7}{5} IB \) - Tổng \( IA + IC = \frac{7}{5} IB + \frac{5}{7} IB \) Bước 8: Kết luận: - Ta thấy rằng tổng \( IA + IC \) sẽ bằng tổng các đoạn thẳng đã cho. Vậy tổng \( IA + IC \) bằng 48 cm. Câu 33: Để lượng gỗ bỏ đi tối thiểu thì ta cần xẻ khúc gỗ hình trụ sao cho diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là lớn nhất. Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật sẽ lớn nhất khi nó là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ. Bước 1: Tính bán kính của đường tròn đáy hình trụ: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm} \] Bước 2: Tính diện tích của đường tròn đáy hình trụ: \[ S_{\text{đường tròn}} = \pi r^2 = \pi \times 20^2 = 400\pi \text{ cm}^2 \] Bước 3: Tính diện tích của hình vuông nội tiếp trong đường tròn: Diện tích của hình vuông nội tiếp trong đường tròn có công thức: \[ S_{\text{vuông}} = \frac{1}{2} d^2 = \frac{1}{2} \times 40^2 = \frac{1}{2} \times 1600 = 800 \text{ cm}^2 \] Bước 4: Tính diện tích bỏ đi của mỗi mặt đáy: \[ S_{\text{bỏ đi}} = S_{\text{đường tròn}} - S_{\text{vuông}} = 400\pi - 800 \text{ cm}^2 \] Bước 5: Tính thể tích bỏ đi của khúc gỗ: Chiều dài của khúc gỗ là 3m = 300cm, nên thể tích bỏ đi là: \[ V_{\text{bỏ đi}} = S_{\text{bỏ đi}} \times h = (400\pi - 800) \times 300 \text{ cm}^3 \] Bước 6: Tính lượng gỗ bỏ đi tối thiểu: \[ V_{\text{bỏ đi}} = (400\pi - 800) \times 300 \approx (400 \times 3.14 - 800) \times 300 \] \[ V_{\text{bỏ đi}} \approx (1256 - 800) \times 300 \] \[ V_{\text{bỏ đi}} \approx 456 \times 300 \] \[ V_{\text{bỏ đi}} \approx 136800 \text{ cm}^3 \] Vậy lượng gỗ bỏ đi tối thiểu xấp xỉ là 136800 cm³. Câu 34: Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} mx - 2y = 2 \\ 2x + my = 5 \end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất $(x, y)$, ta cần đảm bảo rằng hệ này có định thức khác 0. Ta tính định thức của hệ phương trình: \[ D = \begin{vmatrix} m & -2 \\ 2 & m \end{vmatrix} = m^2 + 4 \] Để hệ có nghiệm duy nhất, ta cần: \[ m^2 + 4 \neq 0 \] \[ m^2 \neq -4 \] Vì $m^2$ luôn dương hoặc bằng 0, nên $m^2 \neq -4$ luôn đúng. Do đó, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất cho mọi giá trị của $m$. Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho $x + y - 2022 = \frac{-2023m^2 + 14m - 8088}{m^2 + 4}$. Ta sẽ giải hệ phương trình để tìm $x$ và $y$: \[ mx - 2y = 2 \quad \text{(1)} \] \[ 2x + my = 5 \quad \text{(2)} \] Nhân phương trình (1) với $m$ và nhân phương trình (2) với 2: \[ m^2x - 2my = 2m \quad \text{(3)} \] \[ 4x + 2my = 10 \quad \text{(4)} \] Cộng phương trình (3) và (4): \[ (m^2 + 4)x = 2m + 10 \] \[ x = \frac{2m + 10}{m^2 + 4} \] Thay $x$ vào phương trình (1): \[ m \left( \frac{2m + 10}{m^2 + 4} \right) - 2y = 2 \] \[ \frac{2m^2 + 10m}{m^2 + 4} - 2y = 2 \] \[ 2y = \frac{2m^2 + 10m}{m^2 + 4} - 2 \] \[ 2y = \frac{2m^2 + 10m - 2(m^2 + 4)}{m^2 + 4} \] \[ 2y = \frac{2m^2 + 10m - 2m^2 - 8}{m^2 + 4} \] \[ 2y = \frac{10m - 8}{m^2 + 4} \] \[ y = \frac{5m - 4}{m^2 + 4} \] Bây giờ, ta thay $x$ và $y$ vào phương trình $x + y - 2022 = \frac{-2023m^2 + 14m - 8088}{m^2 + 4}$: \[ \frac{2m + 10}{m^2 + 4} + \frac{5m - 4}{m^2 + 4} - 2022 = \frac{-2023m^2 + 14m - 8088}{m^2 + 4} \] \[ \frac{2m + 10 + 5m - 4}{m^2 + 4} - 2022 = \frac{-2023m^2 + 14m - 8088}{m^2 + 4} \] \[ \frac{7m + 6}{m^2 + 4} - 2022 = \frac{-2023m^2 + 14m - 8088}{m^2 + 4} \] \[ \frac{7m + 6 - 2022(m^2 + 4)}{m^2 + 4} = \frac{-2023m^2 + 14m - 8088}{m^2 + 4} \] \[ 7m + 6 - 2022m^2 - 8088 = -2023m^2 + 14m - 8088 \] \[ 7m + 6 - 2022m^2 - 8088 = -2023m^2 + 14m - 8088 \] \[ 7m + 6 - 2022m^2 = -2023m^2 + 14m \] \[ 6 - 2022m^2 = -2023m^2 + 7m \] \[ 6 = -m^2 + 7m \] \[ m^2 - 7m + 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 - 7m + 6 = 0 \] \[ (m - 1)(m - 6) = 0 \] Vậy $m = 1$ hoặc $m = 6$. Tổng tất cả các giá trị của $m$ là: \[ 1 + 6 = 7 \] Đáp số: 7