gcghhbvfyijnn

Câu 13: a) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta}=(2;1).$ Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $2x + y - 1 = 0$. Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng $y = -2x + 1$. Từ đây, ta thấy rằng véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta} = (1; -2)$. Tuy nhiên, véc tơ chỉ phương của đường thẳng cũng có thể là bội của nó, do đó $\overrightarrow{u_\Delta} = (2; 1)$ cũng là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. b) Điểm $M(1; -1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. Thay tọa độ của điểm $M(1; -1)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$: \[2(1) + (-1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0.\] Vậy điểm $M(1; -1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. c) Đường thẳng đi qua điểm $A(0; 1)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $x - 2y - 2 = 0$. Đường thẳng $\Delta$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_\Delta} = (2; 1)$. Đường thẳng vuông góc với $\Delta$ sẽ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (-1; 2)$ (vì tích vô hướng của hai véc tơ chỉ phương này bằng 0: $2(-1) + 1(2) = 0$). Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(0; 1)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{v} = (-1; 2)$ là: \[y - 1 = 2(x - 0)\] \[y - 1 = 2x\] \[2x - y + 1 = 0\] Tuy nhiên, theo đề bài, phương trình đường thẳng này là $x - 2y - 2 = 0$. Ta kiểm tra lại: \[x - 2y - 2 = 0\] \[x - 2(y - 1) = 0\] \[x - 2y + 2 = 0\] Do đó, phương trình đúng là $x - 2y + 2 = 0$, không phải $x - 2y - 2 = 0$. d) Đường tròn tâm $N(2; 2)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5$. Đường tròn tâm $N(2; 2)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình $2x + y - 1 = 0$. Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm $N(2; 2)$ đến đường thẳng $\Delta$. Khoảng cách từ điểm $N(2; 2)$ đến đường thẳng $\Delta$ là: \[d = \frac{|2(2) + 1(2) - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 2 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\] Vậy phương trình đường tròn là: \[(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{5})^2\] \[(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5\] Đáp số: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai, phương trình đúng là $x - 2y + 2 = 0$. d) Đúng. Câu 14. a) Khoảng cách từ điểm $M(1;1)$ đến đường thẳng $\Delta:~3x+4y+1=0$ là: Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ được tính theo công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 4 + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{8}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm $M(1;1)$ đến đường thẳng $\Delta$ là $\frac{8}{5}$. b) Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn $(C):~x^2+y^2+6x-4y-3=0$ có tâm là $I(-3;2),$ bán kính bằng 4. Để xác định tâm và bán kính của đường tròn, ta viết lại phương trình dưới dạng chuẩn: \[ x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0 \] \[ (x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) = 3 \] \[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 = 3 \] \[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16 \] Từ đây, ta thấy tâm của đường tròn là $I(-3; 2)$ và bán kính là $\sqrt{16} = 4$. c) Đường tròn (C) có tâm $I(-2;3)$ và đi qua $M(1;3)$ có phương trình là: $(x+2)^2+(y-3)^2=3$ Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm $I(-2;3)$ đến điểm $M(1;3)$: \[ r = \sqrt{(1 + 2)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 \] Phương trình đường tròn có tâm $I(-2;3)$ và bán kính 3 là: \[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 3^2 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 \] d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng đi qua điểm $M(3;-2)$ và vuông góc với đường thẳng $\left\{\begin{array}lx=4+2t\\y=1+3t\end{array}\right.$ có phương trình tổng quát là: $2x+3y-12=0.$ Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương là $(2, 3)$. Đường thẳng vuông góc với nó sẽ có vectơ chỉ phương là $(-3, 2)$. Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(3, -2)$ và có vectơ chỉ phương $(-3, 2)$ là: \[ \frac{x - 3}{-3} = \frac{y + 2}{2} \] Chuyển về dạng tổng quát: \[ 2(x - 3) = -3(y + 2) \] \[ 2x - 6 = -3y - 6 \] \[ 2x + 3y = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là: \[ 2x + 3y = 0 \] Câu 15. a) Một véctơ pháp tuyến của đường thẳng d vuông góc với đường thẳng BC là $\overrightarrow n(-3;3).$ Để kiểm tra điều này, ta cần tính véctơ $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = (-3 - 0; 1 - (-2)) = (-3; 3) \] Véctơ pháp tuyến của đường thẳng BC sẽ là một véctơ vuông góc với $\overrightarrow{BC}$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{n} = (-3; 3)$ là một véctơ vuông góc với $\overrightarrow{BC}$ vì tích vô hướng của chúng là: \[ (-3) \cdot (-3) + 3 \cdot 3 = 9 + 9 = 18 \neq 0 \] Do đó, $\overrightarrow{n} = (-3; 3)$ không phải là véctơ pháp tuyến của đường thẳng BC. Đáp án này sai. b) Phương trình của đường trung trực đoạn thẳng BC là $x + y + 2 = 0.$ Đầu tiên, ta tìm trung điểm M của đoạn thẳng BC: \[ M = \left( \frac{-3 + 0}{2}; \frac{1 + (-2)}{2} \right) = \left( -\frac{3}{2}; -\frac{1}{2} \right) \] Tiếp theo, ta tìm véctơ pháp tuyến của đường thẳng BC, đã tính ở phần a là $\overrightarrow{n} = (-3; 3)$. Đường trung trực của đoạn thẳng BC sẽ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (-3; 3)$. Phương trình đường thẳng đi qua điểm M và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ là: \[ -3(x + \frac{3}{2}) + 3(y + \frac{1}{2}) = 0 \] \[ -3x - \frac{9}{2} + 3y + \frac{3}{2} = 0 \] \[ -3x + 3y - 3 = 0 \] \[ x - y + 1 = 0 \] Do đó, phương trình của đường trung trực đoạn thẳng BC là $x - y + 1 = 0$. Đáp án này sai. c) Phương trình đường tròn đường kính $AB$ là $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0.$ Đầu tiên, ta tìm trung điểm O của đoạn thẳng AB: \[ O = \left( \frac{2 + 0}{2}; \frac{0 + (-2)}{2} \right) = (1; -1) \] Tiếp theo, ta tính bán kính R của đường tròn, bằng khoảng cách từ O đến A hoặc B: \[ R = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Phương trình đường tròn tâm O và bán kính R là: \[ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2 \] \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 2 \] \[ x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0 \] Do đó, phương trình đường tròn đường kính AB là $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$. Đáp án này đúng. d) Khoảng cách từ điểm $C(-3;1)$ đến trục Ox bằng 3. Khoảng cách từ điểm $(x_0; y_0)$ đến trục Ox là $|y_0|$. Do đó, khoảng cách từ điểm $C(-3; 1)$ đến trục Ox là: \[ |1| = 1 \] Do đó, khoảng cách từ điểm $C(-3; 1)$ đến trục Ox là 1. Đáp án này sai. Kết luận: a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 16: a) Ta có $I(2;-3).$ Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến cần tìm là $\overrightarrow{n}=(x_M-x_I;y_M-y_I)=(-3;4).$ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $-3(x+1)+4(y-1)=0$ hay $3x-4y+7=0.$ Vậy mệnh đề đúng. b) Khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) đến đường thẳng $\Delta$ là: $d(I,\Delta )=\frac{\left | 2-3+5 \right |}{\sqrt{1^2+1^2}}=3\sqrt{2}.$ Vậy mệnh đề đúng. c) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(1;1).$ Đường thẳng d đi qua tâm I của đường tròn (C) và vuông góc với $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_d}=(-1;1).$ Phương trình đường thẳng d là: $-(x-2)+(y+3)=0$ hay $x-y-5=0.$ Vậy mệnh đề sai.