Trả lời câu hỏi

Câu 3. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng AB là $90^0$ Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ và vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \vec{u} = (1, -2, 3) \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: \[ \vec{AB} = B - A = (-3 - 4, 4 - 6, -2 + 3) = (-7, -2, 1) \] Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. Ta tính tích vô hướng của hai vectơ này: \[ \vec{u} \cdot \vec{AB} = 1 \cdot (-7) + (-2) \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = -7 + 4 + 3 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vectơ vuông góc với nhau, tức là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng AB là $90^0$. Vậy khẳng định a) đúng. b) Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với $\Delta$ là $x - 2y + 3z - 17 = 0$ Mặt phẳng đi qua điểm $A(4, 6, -3)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ sẽ có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của $\Delta$, tức là $\vec{n} = (1, -2, 3)$. Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 1(x - 4) - 2(y - 6) + 3(z + 3) = 0 \] \[ x - 4 - 2y + 12 + 3z + 9 = 0 \] \[ x - 2y + 3z + 17 = 0 \] Như vậy, phương trình mặt phẳng là: \[ x - 2y + 3z - 17 = 0 \] Vậy khẳng định b) đúng. c) Hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng $\Delta$ là $H(1, 3, -4)$ Ta cần tìm điểm H trên đường thẳng $\Delta$ sao cho đoạn thẳng AH vuông góc với $\Delta$. Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: \[ x = 3 + t, \quad y = -1 - 2t, \quad z = 2 + 3t \] Gọi H có tọa độ $(3 + t, -1 - 2t, 2 + 3t)$. Vectơ $\vec{AH}$ là: \[ \vec{AH} = (3 + t - 4, -1 - 2t - 6, 2 + 3t + 3) = (t - 1, -2t - 7, 3t + 5) \] Để AH vuông góc với $\Delta$, tích vô hướng của $\vec{AH}$ và $\vec{u}$ phải bằng 0: \[ (t - 1) \cdot 1 + (-2t - 7) \cdot (-2) + (3t + 5) \cdot 3 = 0 \] \[ t - 1 + 4t + 14 + 9t + 15 = 0 \] \[ 14t + 28 = 0 \] \[ t = -2 \] Thay $t = -2$ vào phương trình tham số của $\Delta$: \[ x = 3 - 2 = 1 \] \[ y = -1 - 2(-2) = 3 \] \[ z = 2 + 3(-2) = -4 \] Vậy hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng $\Delta$ là $H(1, 3, -4)$. Khẳng định c) đúng. d) Số đo của góc nhị diện $[A, \Delta, B]$ là $112^0$ (làm tròn đến hàng đơn vị) Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng $\Delta$ và AB. Ta đã biết rằng $\Delta$ và AB vuông góc với nhau, do đó góc nhị diện giữa chúng là $90^0$. Tuy nhiên, nếu yêu cầu làm tròn đến hàng đơn vị, thì góc nhị diện vẫn là $90^0$. Vậy khẳng định d) sai vì góc nhị diện không phải là $112^0$. Đáp án cuối cùng: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai