giuóppppoop

Câu 11. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 7^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ cơ bản. Công thức nguyên hàm của hàm số \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = 7^x \): \[ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ B.~\int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \] Đáp án: B. Câu 12. Phương trình mặt cầu (S) có tâm $I(1;2;-1)$ và bán kính $R=3$ được viết dưới dạng: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 3^2 \] Tính toán: \[ 3^2 = 9 \] Do đó, phương trình mặt cầu (S) là: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9. \] Câu 13. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \] Chúng ta cần xác định các hệ số của tham số \( t \) trong mỗi phương trình. - Từ phương trình \( x = 2 - t \), ta thấy hệ số của \( t \) là \(-1\). - Từ phương trình \( y = 1 + 2t \), ta thấy hệ số của \( t \) là \(2\). - Từ phương trình \( z = 3 + t \), ta thấy hệ số của \( t \) là \(1\). Như vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số này, tức là: \[ \overrightarrow{u} = (-1, 2, 1) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\overrightarrow{u} = (-1, 2, 1) \] Câu 14. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 16$. Phương trình này có dạng chuẩn của mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với phương trình chuẩn, ta nhận thấy: - $a = 1$ - $b = -2$ - $c = 3$ Do đó, tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là $(1, -2, 3)$. Vậy đáp án đúng là: $B.~(1, -2, 3).$ Câu 15. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x + 1)^2 \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức trong tích phân: \[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \] 2. Tính tích phân từng phần: \[ I = \int_{0}^{2} (4x^2 + 4x + 1) \, dx \] Ta chia thành các tích phân riêng: \[ I = \int_{0}^{2} 4x^2 \, dx + \int_{0}^{2} 4x \, dx + \int_{0}^{2} 1 \, dx \] 3. Tính từng tích phân riêng: - Tích phân thứ nhất: \[ \int_{0}^{2} 4x^2 \, dx = 4 \int_{0}^{2} x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 4 \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{32}{3} \] - Tích phân thứ hai: \[ \int_{0}^{2} 4x \, dx = 4 \int_{0}^{2} x \, dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 4 \left( \frac{4}{2} \right) = 4 \times 2 = 8 \] - Tích phân thứ ba: \[ \int_{0}^{2} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{2} = 2 - 0 = 2 \] 4. Cộng lại các kết quả: \[ I = \frac{32}{3} + 8 + 2 = \frac{32}{3} + \frac{24}{3} + \frac{6}{3} = \frac{62}{3} \] Như vậy, tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x + 1)^2 \, dx \) có kết quả là \( \frac{62}{3} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{62}{3}} \] Câu 16. Để xác định điểm nào thuộc mặt phẳng $(P):~x-2y+z-1=0$, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay tọa độ điểm $P(0;0;-5)$ vào phương trình: \[ 0 - 2 \cdot 0 + (-5) - 1 = -6 \neq 0 \] Do đó, điểm $P$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. B. Thay tọa độ điểm $Q(2;0;1)$ vào phương trình: \[ 2 - 2 \cdot 0 + 1 - 1 = 2 \neq 0 \] Do đó, điểm $Q$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. C. Thay tọa độ điểm $M(1;1;2)$ vào phương trình: \[ 1 - 2 \cdot 1 + 2 - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0 \] Do đó, điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$. D. Thay tọa độ điểm $N(-3;1;0)$ vào phương trình: \[ -3 - 2 \cdot 1 + 0 - 1 = -3 - 2 - 1 = -6 \neq 0 \] Do đó, điểm $N$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Vậy điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ là điểm $M(1;1;2)$. Đáp án đúng là: C. $M(1;1;2)$. Câu 1. a) Sai vì đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(-2;2;1).$ b) Sai vì thay tọa độ gốc tọa độ $(0;0;0)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được $\frac{0+1}{-2}=\frac{0-3}{2}=\frac{0}{1}\Rightarrow -\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}=0$ (loại) c) Đúng vì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n=(1;2;-2)$ và vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow u=(-2;2;1).$ Ta có $\overrightarrow n.\overrightarrow u=1\times (-2)+2\times 2+(-2)\times 1=0$ nên $\overrightarrow n\perp \overrightarrow u.$ Vậy đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ song song. d) Đúng vì tâm mặt cầu $(S)$ là $I(-2025;1;-3)$ và bán kính $R=3.$ Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ ta được $-2025+2\times 1-2\times (-3)+2025=0$ (thỏa mãn) Vậy mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ có một điểm chung là tâm mặt cầu nên chúng cắt nhau. Câu 2. Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Phần a) Tính tích phân $\int [f(x) + g(x)] \, dx$: \[ \int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \] Biết rằng $f(x) = x^2 + 2$, ta có: \[ \int f(x) \, dx = \int (x^2 + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C \] Và từ đề bài, ta biết: \[ \int g(x) \, dx = \sin x + C \] Do đó: \[ \int [f(x) + g(x)] \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + 2x + C \right) + (\sin x + C) = \frac{x^3}{3} + 2x + \sin x + C \] Như vậy, phần a) là sai vì tích phân đúng là $\frac{x^3}{3} + 2x + \sin x + C$, không phải $\frac{x^2}{3} + 2x + \sin x + C$. Phần b) Tìm $g(x)$: \[ \int g(x) \, dx = \sin x + C \] Đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$, do đó: \[ g(x) = \cos x \] Như vậy, phần b) là sai vì $g(x) = \cos x$, không phải $-\cos x$. Phần c) Tính tích phân $\int f(x) \, dx$: \[ \int f(x) \, dx = \int (x^2 + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C \] Như vậy, phần c) là sai vì tích phân đúng là $\frac{x^3}{3} + 2x + C$, không phải $\frac{x^2}{3} + 2x + C$. Phần d) Tính tích phân $\int_0^2 x f(x^2) \, dx$: \[ f(x^2) = (x^2)^2 + 2 = x^4 + 2 \] Do đó: \[ \int_0^2 x f(x^2) \, dx = \int_0^2 x (x^4 + 2) \, dx = \int_0^2 (x^5 + 2x) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int_0^2 x^5 \, dx = \left[ \frac{x^6}{6} \right]_0^2 = \frac{2^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \] \[ \int_0^2 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^2 = 2^2 - 0^2 = 4 \] Do đó: \[ \int_0^2 (x^5 + 2x) \, dx = \frac{32}{3} + 4 = \frac{32}{3} + \frac{12}{3} = \frac{44}{3} \approx 14.67 \] Như vậy, phần d) là sai vì tích phân $\int_0^2 x f(x^2) \, dx$ nhỏ hơn 15. Kết luận Các phần a), b), c), và d) đều sai.