Giải tự luânnjj

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Bất phương trình đã cho là $(\frac{1}{5})^{-3x^2} < 5^{5x+2}$. - Ta nhận thấy rằng $(\frac{1}{5})^{-3x^2} = 5^{3x^2}$ (vì $\frac{1}{5} = 5^{-1}$). 2. Viết lại bất phương trình: - Bất phương trình trở thành $5^{3x^2} < 5^{5x+2}$. 3. So sánh các mũ: - Vì cơ số là cùng một số dương lớn hơn 1 (ở đây là 5), nên ta có thể so sánh trực tiếp các mũ của chúng. - Do đó, ta có $3x^2 < 5x + 2$. 4. Giải bất phương trình bậc hai: - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $3x^2 - 5x - 2 < 0$. - Tìm nghiệm của phương trình bậc hai $3x^2 - 5x - 2 = 0$ bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 3$, $b = -5$, $c = -2$: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6} \] Vậy ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3} \] 5. Xác định khoảng nghiệm: - Bất phương trình $3x^2 - 5x - 2 < 0$ đúng trong khoảng giữa hai nghiệm: \[ -\frac{1}{3} < x < 2 \] 6. Tìm các nghiệm nguyên: - Các số nguyên nằm trong khoảng $-\frac{1}{3} < x < 2$ là $x = 0$ và $x = 1$. Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 2 nghiệm: $x = 0$ và $x = 1$. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x + 1) > -3$, ta cần đảm bảo rằng $x + 1 > 0$. Do đó: \[ x > -1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có: \[ \log_{\frac{1}{2}}(x + 1) > -3 \] - Đổi về dạng mũ: \[ x + 1 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \] - Tính giá trị bên phải: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \] - Vậy ta có: \[ x + 1 < 8 \] - Giải ra $x$: \[ x < 7 \] 3. Tìm giao của các điều kiện: - Kết hợp điều kiện $x > -1$ và $x < 7$, ta có: \[ -1 < x < 7 \] 4. Xác định các nghiệm nguyên: - Các số nguyên thỏa mãn $-1 < x < 7$ là: \[ x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \] 5. Kết luận: - Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 7. Đáp số: 7 Câu 3: Số tiền ban đầu người đó gửi vào ngân hàng là 100 triệu đồng. Lãi suất hàng năm là 7%, tức là mỗi năm số tiền tăng thêm 7% so với số tiền đầu năm. Ta sẽ tính số tiền sau mỗi năm bằng công thức lãi kép: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \] Trong đó: - \( A \) là số tiền cuối cùng sau \( n \) năm. - \( P \) là số tiền ban đầu (100 triệu đồng). - \( r \) là lãi suất hàng năm (7%). - \( n \) là số năm. Muốn biết sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 150 triệu đồng, ta cần giải phương trình: \[ 100 \left(1 + \frac{7}{100}\right)^n > 150 \] Chia cả hai vế cho 100: \[ \left(1 + \frac{7}{100}\right)^n > 1.5 \] Tính \( 1 + \frac{7}{100} \): \[ 1 + \frac{7}{100} = 1.07 \] Do đó, ta có: \[ 1.07^n > 1.5 \] Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị \( n \) để tìm giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên. - Với \( n = 5 \): \[ 1.07^5 \approx 1.40255 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] - Với \( n = 6 \): \[ 1.07^6 \approx 1.50073 \quad (\text{thỏa mãn}) \] Như vậy, sau ít nhất 6 năm, số tiền người đó nhận được sẽ nhiều hơn 150 triệu đồng. Đáp số: 6 năm. Câu 4: Để tính xác suất của các biến cố \(AB\), \(\overline{A}B\), \(A\overline{B}\) và \(\overline{AB}\), ta sẽ áp dụng các công thức xác suất liên quan đến các biến cố độc lập. 1. Tính xác suất của biến cố \(AB\): Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, nên xác suất của biến cố \(AB\) là: \[ P(AB) = P(A) \times P(B) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(AB) = 0,6 \times 0,2 = 0,12 \] 2. Tính xác suất của biến cố \(\overline{A}B\): Xác suất của biến cố \(\overline{A}\) (biến cố đối của \(A\)) là: \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4 \] Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, nên \(\overline{A}\) và \(B\) cũng là hai biến cố độc lập. Do đó, xác suất của biến cố \(\overline{A}B\) là: \[ P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \times P(B) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(\overline{A}B) = 0,4 \times 0,2 = 0,08 \] 3. Tính xác suất của biến cố \(A\overline{B}\): Xác suất của biến cố \(\overline{B}\) (biến cố đối của \(B\)) là: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8 \] Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, nên \(A\) và \(\overline{B}\) cũng là hai biến cố độc lập. Do đó, xác suất của biến cố \(A\overline{B}\) là: \[ P(A\overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B}) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(A\overline{B}) = 0,6 \times 0,8 = 0,48 \] 4. Tính xác suất của biến cố \(\overline{AB}\): Biến cố \(\overline{AB}\) là biến cố đối của biến cố \(AB\). Do đó, xác suất của biến cố \(\overline{AB}\) là: \[ P(\overline{AB}) = 1 - P(AB) \] Thay giá trị của \(P(AB)\) vào: \[ P(\overline{AB}) = 1 - 0,12 = 0,88 \] Kết luận: - \(P(AB) = 0,12\) - \(P(\overline{A}B) = 0,08\) - \(P(A\overline{B}) = 0,48\) - \(P(\overline{AB}) = 0,88\) Câu 5: Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), nên SO cũng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Do đó, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) chính là góc $\angle SDO$. Bây giờ, ta tính độ dài các đoạn thẳng liên quan: - Vì ABCD là hình chữ nhật với $AB = a$ và $AD = 2a$, nên $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$. - Ta biết rằng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), do đó tam giác SAB là tam giác vuông tại A. Ta có $SB = a\sqrt{5}$, suy ra $SA = \sqrt{SB^2 - AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{5})^2 - a^2} = \sqrt{5a^2 - a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$. Tiếp theo, ta tính độ dài đoạn thẳng DO: - Vì O là trung điểm của BD, nên $DO = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. Cuối cùng, ta tính góc $\angle SDO$: - Trong tam giác vuông SDO, ta có $\tan(\angle SDO) = \frac{SO}{DO} = \frac{SA}{DO} = \frac{2a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{2a \cdot 2}{a\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$. Vậy góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là $\angle SDO = \arctan\left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$. Đáp số: $\angle SDO = \arctan\left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$.