giải giúp mình IV. TỰ LUẬN,Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N là trung điểm của AD, AB,a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).,b) Gọi I,G lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAD . Chứng minh rằng $GI//(ABCD).$,Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.,a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).,b) Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các cạnh SB và SC sao cho $MS=2MB,~NS=NC.$ Mặt phẳng (,AMN) cắt cạnh SD tại K . Chứng minh $MK//(ABCD).$,Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CD và P là điểm thuộc cạnh,AC ,a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD).,b. Chứng minh giao tuyến đó song song với BD.

Question

phoneiu · Accepted Answer

{"userId":5365647,"userName":"Phương Nhi"}

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của AD, AB

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC)

(SAC) và (SBD)

(SBD).

Lời giải: Ta có điểm S
S thuộc cả hai mặt phẳng (SAC)
(SAC) và (SBD)
(SBD). Trong mặt phẳng đáy (ABCD)
(ABCD), hai đường chéo AC
AC và BD
BD cắt nhau tại O
O. Vì ABCD
ABCD là hình bình hành, tâm O
O của hình bình hành là trung điểm của AC
AC và BD
BD. Do O
O là giao điểm của AC
AC và BD
BD, nên O
O thuộc AC
AC và O
O thuộc BD
BD. Vì AC⊂(SAC)
AC⊂(SAC) nên O∈(SAC)
O∈(SAC). Vì BD⊂(SBD)
BD⊂(SBD) nên O∈(SBD)
O∈(SBD). Vậy O
O cũng thuộc cả hai mặt phẳng (SAC)
(SAC) và (SBD)
(SBD). Hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt S
S và O
O thì giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua hai điểm đó. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC)
(SAC) và (SBD)
(SBD) là đường thẳng SO
SO.

b) Gọi I,G

I,G lần lượt là trọng tâm tam giác SAB

SAB và SAD

SAD. Chứng minh rằng GI//(ABCD)

GI//(ABCD).

Lời giải:
Ta sử dụng phương pháp vector với gốc là S
S. Đặt SA⃗=a
SA
=a, SB⃗=b
SB
=b, SD⃗=d
SD
=d.
Vì ABCD
ABCD là hình bình hành, ta có AC⃗=AB⃗+AD⃗
AC
=AB
+AD
. Tuy nhiên, ta cần biểu diễn các vector theo các cạnh xuất phát từ S
S.
Ta có AB⃗=SB⃗−SA⃗=b−a
AB
=SB
−SA
=b−a và AD⃗=SD⃗−SA⃗=d−a
AD
=SD
−SA
=d−a.
Theo tính chất của hình bình hành, AC⃗=AB⃗+BC⃗
AC
=AB
+BC
và AD⃗=BC⃗
AD
=BC
, suy ra AC⃗=AB⃗+AD⃗
AC
=AB
+AD
.
Do ABCD
ABCD là hình bình hành nên AC⃗=AB⃗+AD⃗
AC
=AB
+AD
.
Trong mặt phẳng ABCD
ABCD, vector DB⃗=SB⃗−SD⃗=b−d
DB
=SB
−SD
=b−d.
Theo định nghĩa trọng tâm của tam giác:
I là trọng tâm tam giác SAB
SAB, nên SI⃗=13(SA⃗+SB⃗+SS⃗)=13(SA⃗+SB⃗)
SI
=3
1
(SA
+SB
+SS
)=3
1
(SA
+SB
) (với SS⃗=0
SS
=0).
Vậy SI⃗=13(a+b)
SI
=3
1
(a+b).
G là trọng tâm tam giác SAD
SAD, nên SG⃗=13(SA⃗+SD⃗+SS⃗)=13(SA⃗+SD⃗)
SG
=3
1
(SA
+SD
+SS
)=3
1
(SA
+SD
).
Vậy SG⃗=13(a+d)
SG
=3
1
(a+d).
Ta xét vector GI⃗
GI
:
GI⃗=SI⃗−SG⃗=13(a+b)−13(a+d)=13(b−d)
GI
=SI
−SG
=3
1
(a+b)−3
1
(a+d)=3
1
(b−d).
Ta có DB⃗=SB⃗−SD⃗=b−d
DB
=SB
−SD
=b−d.
Do đó, GI⃗=13DB⃗
GI
=3
1
DB
.
Vì DB⃗
DB
là vector chỉ phương của đường thẳng BD
BD, và đường thẳng BD
BD nằm trong mặt phẳng (ABCD)
(ABCD), nên GI⃗
GI
song song với mặt phẳng (ABCD)
(ABCD).

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC)

(SAC) và (SBD)

(SBD).

Lời giải: Tương tự như Câu 1a, ta có: Điểm S
S thuộc cả hai mặt phẳng (SAC)
(SAC) và (SBD)
(SBD). Do ABCD
ABCD là hình bình hành, hai đường chéo AC
AC và BD
BD cắt nhau tại O
O. Điểm O
O thuộc cả hai đường thẳng AC
AC và BD
BD, do đó O
O thuộc cả hai mặt phẳng (SAC)
(SAC) và (SBD)
(SBD). Hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt là S
S và O
O, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SO
SO.

b) Gọi M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SB và SC sao cho MS=2MB

MS=2MB, NS=NC

NS=NC. Mặt phẳng (AMN)

(AMN) cắt cạnh SD tại K. Chứng minh MK//(ABCD)

MK//(ABCD).

Lời giải:
Ta sử dụng phương pháp vector với gốc là S
S. Đặt SA⃗=a
SA
=a, SB⃗=b
SB
=b, SC⃗=c
SC
=c, SD⃗=d
SD
=d.
Vì ABCD
ABCD là hình bình hành, ta có AC⃗=AB⃗+AD⃗
AC
=AB
+AD
với AB⃗=SB⃗−SA⃗=b−a
AB
=SB
−SA
=b−a và AD⃗=SD⃗−SA⃗=d−a
AD
=SD
−SA
=d−a.
Do đó, SC⃗−SA⃗=(SB⃗−SA⃗)+(SD⃗−SA⃗)
SC
−SA
=(SB
−SA
)+(SD
−SA
), suy ra SC⃗=SB⃗+SD⃗
SC
=SB
+SD
.
Hay c=b+d
c=b+d.
Theo giả thiết:
M là điểm trên SB
SB sao cho MS=2MB
MS=2MB. Điều này có nghĩa là M chia đoạn SB theo tỉ lệ 2:1, vậy SM⃗=22+1SB⃗=23SB⃗=23b
SM
=2+1
2
SB
=3
2
SB
=3
2
b.
N là điểm trên SC
SC sao cho NS=NC
NS=NC. Điều này có nghĩa là N là trung điểm của SC, vậy SN⃗=12SC⃗=12c
SN
=2
1
SC
=2
1
c.
K là giao điểm của mặt phẳng (AMN)
(AMN) và cạnh SD
SD.
Vì K thuộc cạnh SD, SK⃗=kSD⃗=kd
SK
=kSD
=kd với 0<k<1
0<k<1.
Vì K thuộc mặt phẳng (AMN)
(AMN), nên vector AK⃗
AK
có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của AM⃗
AM
và AN⃗
AN
hoặc SK⃗
SK
có thể biểu diễn qua SA⃗,SM⃗,SN⃗
SA
,SM
,SN
.
Ta có AM⃗=SM⃗−SA⃗=23b−a
AM
=SM
−SA
=3
2
b−a.
Ta có AN⃗=SN⃗−SA⃗=12c−a
AN
=SN
−SA
=2
1
c−a.
Mặt phẳng (AMN)
(AMN) đi qua A và có các vector chỉ phương AM⃗
AM
và AN⃗
AN
.
Vậy AK⃗=SA⃗+uAM⃗+vAN⃗
AK
=SA
+uAM
+vAN
với u, v là các tham số.
AK⃗=a+u(23b−a)+v(12c−a)
AK
=a+u(3
2
b−a)+v(2
1
c−a)
AK⃗=(1−u−v)a+2u3b+v2c
AK
=(1−u−v)a+3
2u
b+2
v
c.
Thay c=b+d
c=b+d vào biểu thức trên:
AK⃗=(1−u−v)a+2u3b+v2(b+d)
AK
=(1−u−v)a+3
2u
b+2
v
(b+d)
AK⃗=(1−u−v)a+(2u3+v2)b+v2d
AK
=(1−u−v)a+(3
2u
+2
v
)b+2
v
d.
Mặt khác, K
K nằm trên SD
SD, nên SK⃗=kSD⃗=kd
SK
=kSD
=kd.
Ta cũng có AK⃗=SK⃗−SA⃗=kd−a
AK
=SK
−SA
=kd−a.
Đồng nhất hai biểu thức của AK⃗
AK
:
kd−a=(1−u−v)a+(2u3+v2)b+v2d
kd−a=(1−u−v)a+(3
2u
+2
v
)b+2
v
d.
Sắp xếp lại:
(1−u−v−(−1))a+(2u3+v2)b+(v2−k)d=0
(1−u−v−(−1))a+(3
2u
+2
v
)b+(2
v
−k)d=0.
(2−u−v)a+(2u3+v2)b+(v2−k)d=0
(2−u−v)a+(3
2u
+2
v
)b+(2
v
−k)d=0.
Vì a,b,d
a,b,d là các vector không đồng phẳng (do S.ABCD
S.ABCD là hình chóp và ABCD là hình bình hành), nên các hệ số của chúng phải bằng 0:
2−u−v=0
2−u−v=0 (1)
2u3+v2=0
3
2u
+2
v
=0 (2)
v2−k=0
2
v
−k=0 (3)
Từ (2): 4u+3v6=0 ⟹ 4u+3v=0 ⟹ v=−43u
6
4u+3v
=0⟹4u+3v=0⟹v=−3
4
u.
Thay vào (1): 2−u−(−43u)=0 ⟹ 2−u+43u=0 ⟹ 2+13u=0 ⟹ 13u=−2 ⟹ u=−6
2−u−(−3
4
u)=0⟹2−u+3
4
u=0⟹2+3
1
u=0⟹3
1
u=−2⟹u=−6.
Suy ra v=−43(−6)=8
v=−3
4
(−6)=8.
Từ (3): k=v2=82=4
k=2
v
=2
8
=4.
Vậy SK⃗=4SD⃗
SK
=4SD
. Tuy nhiên, K nằm trên cạnh SD, nên 0<k<1
0<k<1. Điều này chỉ ra rằng có sự nhầm lẫn trong cách biểu diễn vector.
Ta hãy xem xét tỉ lệ trên các cạnh. Trong mặt phẳng SBC
SBC, xét đường thẳng MN
MN.
S,M,N
S,M,N không thẳng hàng.
Xét tam giác SBC
SBC. M thuộc SB, N thuộc SC.
Tỉ lệ SMSB=23
SB
SM
=3
2
và SNSC=12
SC
SN
=2
1
.
Ta xét mặt phẳng AMN
AMN. K là giao điểm của AMN
AMN và SD
SD.
Định lý Menelaus hoặc vector có thể được sử dụng.
Ta cần chứng minh MK//(ABCD)
MK//(ABCD). Tức là MK
MK song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng ABCD
ABCD.
Hãy xem xét vector MK⃗
MK
.
MK⃗=SK⃗−SM⃗=kd−23b
MK
=SK
−SM
=kd−3
2
b.
Để MK⃗
MK
song song với mặt phẳng (ABCD)
(ABCD), MK⃗
MK
phải là tổ hợp tuyến tính của AB⃗
AB
và AD⃗
AD
(hoặc các vector khác song song với chúng).
Tức là MK⃗=xAB⃗+yAD⃗
MK
=xAB
+yAD
với x,y
x,y là các số thực.
kd−23b=x(b−a)+y(d−a)
kd−3
2
b=x(b−a)+y(d−a)
kd−23b=−xa+xb−ya+yd
kd−3
2
b=−xa+xb−ya+yd
kd−23b=−(x+y)a+xb+yd
kd−3
2
b=−(x+y)a+xb+yd.
Sắp xếp lại:
(x+y)a+(−23−x)b+(y−k)d=0
(x+y)a+(−3
2
−x)b+(y−k)d=0.
Vì a,b,d
a,b,d không đồng phẳng (trong hình chóp S.ABCD), hệ số của chúng phải bằng 0:
x+y=0 ⟹ y=−x
x+y=0⟹y=−x (1')
−23−x=0 ⟹ x=−23
−3
2
−x=0⟹x=−3
2
(2')
y−k=0 ⟹ k=y
y−k=0⟹k=y (3')
Từ (1') và (2'), ta có y=−(−23)=23
y=−(−3
2
)=3
2
.
Từ (3'), ta có k=y=23
k=y=3
2
.
Vậy, K là điểm trên SD sao cho SK⃗=23SD⃗
SK
=3
2
SD
, tức là SK=23SD
SK=3
2
SD.
Lúc này, MK⃗=xAB⃗+yAD⃗=−23AB⃗+23AD⃗
MK
=xAB
+yAD
=−3
2
AB
+3
2
AD
.
Vector MK⃗
MK
là tổ hợp tuyến tính của AB⃗
AB
và AD⃗
AD
, hai vector này nằm trong mặt phẳng (ABCD)
(ABCD).
Do đó, MK⃗
MK
song song với mặt phẳng (ABCD)
(ABCD).
Kết luận: MK//(ABCD)
MK//(ABCD).

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là điểm thuộc cạnh AC.

a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN)

(AMN) và (BPD)

(BPD).

Lời giải:
Ta tìm các điểm chung của hai mặt phẳng (AMN)
(AMN) và (BPD)
(BPD).
Điểm chung thứ nhất: A
A thuộc AC
AC, AC⊂(AMN)
AC⊂(AMN) và AC⊂(BPD)
AC⊂(BPD) (vì AC
AC là một cạnh của đường chéo trong tam giác ACD
ACD hay ABC
ABC). Tuy nhiên, A
A không chắc chắn thuộc (BPD)
(BPD).
Ta cần xác định rõ hơn các điểm thuộc mặt phẳng.
M là trung điểm BC, N là trung điểm CD, P thuộc AC.
Điểm chung thứ nhất: A
A là một điểm, P
P thuộc AC
AC.
Mặt phẳng (AMN)
(AMN) chứa đường thẳng AM
AM.
Mặt phẳng (BPD)
(BPD) chứa đường thẳng BP
BP.
Xét điểm chung thứ nhất: P
P thuộc AC
AC.
Nếu P
P cũng thuộc mặt phẳng (AMN)
(AMN), thì P
P là giao điểm.
Nếu P
P cũng thuộc mặt phẳng (BPD)
(BPD), thì P
P là giao điểm.
Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN)
(AMN) và (BPD)
(BPD).
Hai điểm chung là cần thiết.
Ta có M
M là trung điểm BC
BC, N
N là trung điểm CD
CD.
Trong tam giác BCD
BCD, MN
MN là đường trung bình nên MN//BD
MN//BD.
Vì MN//BD
MN//BD và BD⊂(BPD)
BD⊂(BPD), nên MN//(BPD)
MN//(BPD).
Mặt phẳng (AMN)
(AMN) chứa đường thẳng MN
MN.
Mặt phẳng (BPD)
(BPD) chứa đường thẳng BD
BD.
Vì MN//BD
MN//BD, nên đường thẳng MN
MN song song với mặt phẳng (BPD)
(BPD).
Ta xét giao điểm của hai mặt phẳng.
Điểm M
M thuộc BC
BC. M∈(AMN)
M∈(AMN). M
M có thuộc (BPD)
(BPD)? M
M thuộc BC, BC không chắc chắn nằm trong (BPD)
(BPD).
Điểm N
N thuộc CD
CD. N∈(AMN)
N∈(AMN). N
N có thuộc (BPD)
(BPD)? N
N thuộc CD, CD không chắc chắn nằm trong (BPD)
(BPD).
Ta cần tìm một điểm chung khác.
Hãy xét đường thẳng AM
AM. AM⊂(AMN)
AM⊂(AMN).
Xét đường thẳng BP
BP. BP⊂(BPD)
BP⊂(BPD).
Ta cần tìm giao tuyến của (AMN)
(AMN) và (BPD)
(BPD).
Ta biết MN//BD
MN//BD.
Do MN//BD
MN//BD và BD⊂(BPD)
BD⊂(BPD), nên MN//(BPD)
MN//(BPD).
Mặt phẳng (AMN)
(AMN) chứa đường thẳng MN
MN.
Giao tuyến của (AMN)
(AMN) và (BPD)
(BPD) phải song song với MN
MN.
Ta cần tìm một điểm chung.
Điểm P
P thuộc AC
AC. P∈(BPD)
P∈(BPD).
Nếu P
P thuộc (AMN)
(AMN), thì P
P là một điểm chung.
Tuy nhiên, không có thông tin P thuộc (AMN).
Hãy suy nghĩ lại về cách tìm giao tuyến:

Tìm một điểm chung.
Kẻ một đường thẳng trong mặt phẳng này song song với một đường thẳng trong mặt phẳng kia.
Qua điểm chung, kẻ một đường thẳng song song với đường thẳng đã chọn. Đường thẳng này là giao tuyến.

Ta biết MN//BD
MN//BD. MN⊂(AMN)
MN⊂(AMN) và BD⊂(BPD)
BD⊂(BPD).
Gọi d
d là giao tuyến của (AMN)
(AMN) và (BPD)
(BPD).
Vì MN//BD
MN//BD, và BD
BD nằm trong (BPD)
(BPD), nên MN//(BPD)
MN//(BPD).
Do MN⊂(AMN)
MN⊂(AMN), đường thẳng MN
MN song song với mặt phẳng (BPD)
(BPD).
Do đó, mọi đường thẳng nằm trong (AMN)
(AMN) và song song với MN
MN sẽ song song với (BPD)
(BPD).
Ta cần tìm một điểm chung. Giả sử gọi I
I là giao điểm của AM
AM và BD
BD. I∈(AMN)
I∈(AMN). I∈(ABD)
I∈(ABD). Nếu I∈(BPD)
I∈(BPD), thì I
I là một điểm chung.
Hoặc gọi J
J là giao điểm của AN
AN và BD
BD. J∈(AMN)
J∈(AMN). J∈(ABD)
J∈(ABD). Nếu J∈(BPD)
J∈(BPD), thì J
J là một điểm chung.

Timi · Answer

Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

1. Xác định giao điểm của hai mặt phẳng:
   - Mặt phẳng (SAC) chứa các điểm S, A, C.
   - Mặt phẳng (SBD) chứa các điểm S, B, D.
   - Hai mặt phẳng này có chung đường thẳng SD (vì SD là giao tuyến của hai mặt phẳng chứa S và đáy ABCD).

2. Xác định giao tuyến:
   - Xét điểm O là tâm của hình bình hành ABCD, do đó O nằm trên cả hai đường chéo AC và BD.
   - Đường thẳng SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vì nó đi qua điểm chung S và O.

Vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.

b) Chứng minh rằng $ GI \parallel (ABCD) $

1. Xác định các điểm I và G:
   - I là trọng tâm của tam giác SAB, do đó $ \overrightarrow{SI} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB}) $.
   - G là trọng tâm của tam giác SAD, do đó $ \overrightarrow{SG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SD}) $.

2. Xét vector $\overrightarrow{GI}$:
   - Ta có: 
     $$
     \overrightarrow{GI} = \overrightarrow{SI} - \overrightarrow{SG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB}) - \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SD})
     $$
   - Suy ra:
     $$
     \overrightarrow{GI} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SD})
     $$

3. Chứng minh $\overrightarrow{GI} \parallel (ABCD)$:
   - Vì $\overrightarrow{GI} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SD})$ và $\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SD}$ là một vector nằm trong mặt phẳng đáy (ABCD) (vì B và D nằm trên đáy ABCD), nên $\overrightarrow{GI}$ song song với mặt phẳng (ABCD).

Vậy, $ GI \parallel (ABCD) $.

Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

1. Xác định giao điểm của hai mặt phẳng:
   - Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) đều chứa cạnh chung là $ SD $. Do đó, $ SD $ là giao tuyến của hai mặt phẳng này.

b) Chứng minh $ MK \parallel (ABCD) $

1. Xác định vị trí của điểm M và N:
   - Điểm $ M $ nằm trên cạnh $ SB $ sao cho $ MS = 2MB $. Điều này có nghĩa là $ M $ chia đoạn $ SB $ theo tỉ lệ $ \frac{MS}{MB} = 2 $.
   - Điểm $ N $ nằm trên cạnh $ SC $ sao cho $ NS = NC $. Điều này có nghĩa là $ N $ là trung điểm của đoạn $ SC $.

2. Xác định điểm K:
   - Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh $ SD $ tại $ K $.

3. Chứng minh $ MK \parallel (ABCD) $:
   - Do $ M $ và $ N $ lần lượt nằm trên các cạnh $ SB $ và $ SC $, và $ N $ là trung điểm của $ SC $, ta có thể suy ra rằng đường thẳng $ MN $ nằm trong mặt phẳng (SBC).
   - Mặt khác, $ K $ là giao điểm của $ SD $ với mặt phẳng (AMN), nên $ MK $ nằm trong mặt phẳng (AMN).
   - Để chứng minh $ MK \parallel (ABCD) $, ta cần chứng minh rằng $ MK $ không cắt mặt phẳng (ABCD) và không nằm trong mặt phẳng này.
   - Do $ M $ và $ N $ nằm trên các cạnh của hình chóp và không nằm trong mặt phẳng đáy (ABCD), và $ K $ nằm trên $ SD $, nên $ MK $ không thể cắt mặt phẳng (ABCD).
   - Hơn nữa, vì $ M $ và $ N $ không nằm trong mặt phẳng (ABCD), nên $ MK $ không nằm trong mặt phẳng (ABCD).
   - Từ đó, ta có thể kết luận rằng $ MK \parallel (ABCD) $.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng $ MK \parallel (ABCD) $.

Bài 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD)

1. Xác định mặt phẳng (AMN):
   - M là trung điểm của BC, do đó $ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) $.
   - N là trung điểm của CD, do đó $ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) $.
   - Mặt phẳng (AMN) được xác định bởi ba điểm A, M, N.

2. Xác định mặt phẳng (BPD):
   - P là điểm thuộc cạnh AC, do đó $ \overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AC} $ với $ 0 < k < 1 $.
   - Mặt phẳng (BPD) được xác định bởi ba điểm B, P, D.

3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
   - Giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) là đường thẳng đi qua điểm chung của hai mặt phẳng này.
   - Điểm A thuộc (AMN) và điểm D thuộc (BPD), do đó ta cần tìm một điểm chung khác hoặc một phương pháp khác để xác định giao tuyến.

4. Xác định giao tuyến:
   - Xét điểm M thuộc (AMN) và điểm N thuộc (AMN).
   - Xét điểm B thuộc (BPD) và điểm D thuộc (BPD).
   - Ta thấy rằng đường thẳng BD cắt cả hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) tại các điểm B và D.

b. Chứng minh giao tuyến đó song song với BD

1. Chứng minh song song:
   - Gọi giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) là đường thẳng d.
   - Để chứng minh d song song với BD, ta cần chứng minh rằng vector chỉ phương của d là một tổ hợp tuyến tính của vector chỉ phương của BD.

2. Xét vector chỉ phương:
   - Vector chỉ phương của BD là $ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} $.
   - Do d là giao tuyến của hai mặt phẳng, nên d có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong hai mặt phẳng đó.

3. Kết luận:
   - Vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD), và BD là một đường thẳng nằm trong cả hai mặt phẳng này, nên d song song với BD.

Như vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) là một đường thẳng song song với BD.