Giai giup minh voi

a. \( a^{\frac{4}{3}} \sqrt{a} \) Điều kiện xác định: \( a > 0 \). Ta có: \[ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \] Do đó: \[ a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{8}{6} + \frac{3}{6}} = a^{\frac{11}{6}} \] Vậy: \[ a^{\frac{4}{3}} \sqrt{a} = a^{\frac{11}{6}} \] b. \( a^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{a^3} \cdot \sqrt[3]{a^2} \) Điều kiện xác định: \( a > 0 \). Ta có: \[ \sqrt{a^3} = a^{\frac{3}{2}} \] \[ \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} \] Do đó: \[ a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3} + \frac{9}{6} + \frac{4}{6}} = a^{\frac{3}{3} + \frac{13}{6}} = a^{\frac{19}{6}} \] Vậy: \[ a^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{a^3} \cdot \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{19}{6}} \] c. \( \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a \cdots \sqrt[3]{a}}} \) (với \( n \) dấu căn) Điều kiện xác định: \( a > 0 \). Gọi biểu thức trên là \( A \): \[ A = \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a \cdots \sqrt[3]{a}}} \] Ta có: \[ A^3 = a \sqrt[3]{a \cdots \sqrt[3]{a}} \] Lặp lại quá trình này \( n \) lần, ta có: \[ A^{3^n} = a^{3^{n-1} + 3^{n-2} + \cdots + 3 + 1} \] Tổng số mũ của \( a \) là: \[ 3^{n-1} + 3^{n-2} + \cdots + 3 + 1 = \frac{3^n - 1}{2} \] Do đó: \[ A^{3^n} = a^{\frac{3^n - 1}{2}} \] Vậy: \[ A = a^{\frac{3^n - 1}{2 \cdot 3^n}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}} \] d. \( \sqrt[4]{x^k \cdot \sqrt[3]{x^m \cdot \sqrt{x^n}}} \) Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có: \[ \sqrt{x^n} = x^{\frac{n}{2}} \] \[ \sqrt[3]{x^m \cdot x^{\frac{n}{2}}} = x^{\frac{m}{3} + \frac{n}{6}} \] Do đó: \[ \sqrt[4]{x^k \cdot x^{\frac{m}{3} + \frac{n}{6}}} = x^{\frac{k}{4} + \frac{m}{12} + \frac{n}{24}} \] Vậy: \[ \sqrt[4]{x^k \cdot \sqrt[3]{x^m \cdot \sqrt{x^n}}} = x^{\frac{k}{4} + \frac{m}{12} + \frac{n}{24}} \] e. \( \frac{\sqrt[4]{a^3 b^2}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^6}}} \) (với \( a > 0, b > 0 \)) Điều kiện xác định: \( a > 0, b > 0 \). Ta có: \[ \sqrt[4]{a^3 b^2} = a^{\frac{3}{4}} b^{\frac{1}{2}} \] \[ \sqrt{a^{12} b^6} = a^6 b^3 \] \[ \sqrt[3]{a^6 b^3} = a^2 b \] Do đó: \[ \frac{a^{\frac{3}{4}} b^{\frac{1}{2}}}{a^2 b} = a^{\frac{3}{4} - 2} b^{\frac{1}{2} - 1} = a^{-\frac{5}{4}} b^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a^{\frac{5}{4}} b^{\frac{1}{2}}} \] Vậy: \[ \frac{\sqrt[4]{a^3 b^2}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^6}}} = \frac{1}{a^{\frac{5}{4}} b^{\frac{1}{2}}} \] f. \( \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}} : x^{\frac{11}{16}} \) Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có: \[ \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}} = x^{\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16}} = x^{\frac{15}{16}} \] Do đó: \[ \frac{x^{\frac{15}{16}}}{x^{\frac{11}{16}}} = x^{\frac{15}{16} - \frac{11}{16}} = x^{\frac{4}{16}} = x^{\frac{1}{4}} \] Vậy: \[ \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}} : x^{\frac{11}{16}} = x^{\frac{1}{4}} \] Bài 9: a. Ta có: \[ P = a^{\frac{5 + \sqrt{3}}{2}} \cdot (\sqrt{a})^{1 - \sqrt{3}} \] \[ = a^{\frac{5 + \sqrt{3}}{2}} \cdot a^{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}} \] \[ = a^{\frac{5 + \sqrt{3}}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}}{2}} \] \[ = a^{\frac{5 + \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}}{2}} \] \[ = a^{\frac{6}{2}} \] \[ = a^3 \] b. Ta có: \[ P = \frac{(a^{\sqrt{5} - 2})^{\sqrt{5} + 2}}{a^{1 - \sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3} - 2}} \] \[ = \frac{a^{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}}{a^{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 2}} \] \[ = \frac{a^{(\sqrt{5})^2 - 2^2}}{a^{-1}} \] \[ = \frac{a^{5 - 4}}{a^{-1}} \] \[ = \frac{a^1}{a^{-1}} \] \[ = a^{1 - (-1)} \] \[ = a^2 \] c. Ta có: \[ P = a^{\sqrt{3} + 2} \cdot \left( \frac{1}{a} \right)^{\sqrt{3} - 1} \] \[ = a^{\sqrt{3} + 2} \cdot a^{-(\sqrt{3} - 1)} \] \[ = a^{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 1} \] \[ = a^3 \] Bài 10: Để rút gọn biểu thức, chúng ta cần biết biểu thức cụ thể. Tuy nhiên, vì biểu thức chưa được cung cấp, tôi sẽ giả sử một ví dụ để minh họa cách rút gọn biểu thức. Giả sử biểu thức cần rút gọn là: \[ \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2} \] Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) \[ x - 2 \neq 0 \] \[ x \neq 2 \] Bước 2: Rút gọn biểu thức \[ \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2} \] Phân tích tử số thành nhân tử: \[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \] Do đó, biểu thức trở thành: \[ \frac{(x - 2)^2}{x - 2} \] Rút gọn: \[ \frac{(x - 2)^2}{x - 2} = x - 2 \quad \text{(với điều kiện } x \neq 2\text{)} \] Vậy, biểu thức đã được rút gọn thành: \[ x - 2 \quad \text{(với điều kiện } x \neq 2\text{)} \]