Giải hộ mình câu này với các bạn Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k và a là số nguyên tố lớn hơn 5 thì a^4k – 1 luôn chia hết cho 240.

Để chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \( k \) và \( a \) là số nguyên tố lớn hơn 5 thì \( a^{4k} - 1 \) luôn chia hết cho 240, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chia hết cho 16: Ta xét \( a^{4k} - 1 \): \[ a^{4k} - 1 = (a^4)^k - 1 \] Ta biết rằng \( a \) là số nguyên tố lớn hơn 5, do đó \( a \) không chia hết cho 2. Vì vậy, \( a \) là số lẻ. Ta có: \[ a^4 = (a^2)^2 \] Vì \( a \) là số lẻ, \( a^2 \) cũng là số lẻ, và \( (a^2)^2 \) cũng là số lẻ. Do đó, \( a^4 \equiv 1 \pmod{16} \). Điều này có nghĩa là \( a^4 - 1 \) chia hết cho 16. Từ đó, \( (a^4)^k - 1 \) cũng chia hết cho 16. 2. Chia hết cho 3: Ta xét \( a^{4k} - 1 \): \[ a^{4k} - 1 = (a^4)^k - 1 \] Ta biết rằng \( a \) là số nguyên tố lớn hơn 5, do đó \( a \) không chia hết cho 3. Vì vậy, \( a \) có thể có dạng \( 3m + 1 \) hoặc \( 3m + 2 \) (với \( m \) là số nguyên). Ta xét hai trường hợp: - Nếu \( a = 3m + 1 \): \[ a^4 = (3m + 1)^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{3} \] - Nếu \( a = 3m + 2 \): \[ a^4 = (3m + 2)^4 \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{3} \] Trong cả hai trường hợp, ta đều có \( a^4 \equiv 1 \pmod{3} \). Điều này có nghĩa là \( a^4 - 1 \) chia hết cho 3. Từ đó, \( (a^4)^k - 1 \) cũng chia hết cho 3. 3. Chia hết cho 5: Ta xét \( a^{4k} - 1 \): \[ a^{4k} - 1 = (a^4)^k - 1 \] Ta biết rằng \( a \) là số nguyên tố lớn hơn 5, do đó \( a \) không chia hết cho 5. Vì vậy, \( a \) có thể có dạng \( 5n + 1 \), \( 5n + 2 \), \( 5n + 3 \), hoặc \( 5n + 4 \) (với \( n \) là số nguyên). Ta xét bốn trường hợp: - Nếu \( a = 5n + 1 \): \[ a^4 = (5n + 1)^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{5} \] - Nếu \( a = 5n + 2 \): \[ a^4 = (5n + 2)^4 \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5} \] - Nếu \( a = 5n + 3 \): \[ a^4 = (5n + 3)^4 \equiv 3^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{5} \] - Nếu \( a = 5n + 4 \): \[ a^4 = (5n + 4)^4 \equiv 4^4 \equiv 256 \equiv 1 \pmod{5} \] Trong cả bốn trường hợp, ta đều có \( a^4 \equiv 1 \pmod{5} \). Điều này có nghĩa là \( a^4 - 1 \) chia hết cho 5. Từ đó, \( (a^4)^k - 1 \) cũng chia hết cho 5. 4. Kết luận: Vì \( a^{4k} - 1 \) chia hết cho 16, 3, và 5, nên nó chia hết cho \( 16 \times 3 \times 5 = 240 \). Do đó, với mọi số nguyên dương \( k \) và \( a \) là số nguyên tố lớn hơn 5, ta có \( a^{4k} - 1 \) luôn chia hết cho 240.