Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là phân giác. Kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Trên tia đối của AB lấy điểm F sao cho AF = CE. a. Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD b. Chứng minh BD là đườ...

bunnyeuuu

a. Chứng minh $\triangle ABD = \triangle EBD$

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle EBD$ có:

- $\widehat{BAD} = \widehat{BED} = 90^\circ$

- $BD$ là cạnh chung

- $\widehat{ABD} = \widehat{EBD}$ (do $BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$)

Vậy $\triangle ABD = \triangle EBD$ (cạnh huyền - góc nhọn).

b. Chứng minh $BD$ là đường trung trực của đoạn $AF$

Vì $\triangle ABD = \triangle EBD$ (chứng minh trên) $\Rightarrow BA = BE$

Do đó, $\triangle BAE$ cân tại $B$ và có $BD$ là đường phân giác $\widehat{ABE}$ nên $BD$ cũng là đường cao và đường trung tuyến của $\triangle BAE$.

Suy ra $BD \perp AE$ tại trung điểm của $AE$. Gọi $I$ là trung điểm của $AE$, khi đó $AI = IE$.

Ta có $AF = CE$ (giả thiết)

Mà $BA + AF = BF$

$BE + EC = BC$

$\Rightarrow BF = BC$

Vậy $\triangle BCF$ cân tại $B$

Do $\triangle ABD = \triangle EBD$ nên $AD = ED$.

Xét $\triangle ADF$ và $\triangle EDC$ có:

- $AD = ED$ (chứng minh trên)

- $\widehat{FAD} = \widehat{CED} = 90^\circ$

- $AF = CE$ (giả thiết)

Vậy $\triangle ADF = \triangle EDC$ (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{ADF} = \widehat{EDC}$

Mà $\widehat{EDC} + \widehat{ADE} = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{ADF} + \widehat{ADE} = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{FDE} = 180^\circ$

Từ đó suy ra ba điểm $F, D, E$ thẳng hàng.

Vì $\triangle ADF = \triangle EDC$ nên $DF = DC$

Ta có $BD$ là đường phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $BD$ cũng là đường trung trực của đoạn $AF$.

c. Chứng minh ba điểm $E, D, F$ thẳng hàng

Đã chứng minh ở câu b. Ba điểm $E, D, F$ thẳng hàng.