Trả lời trắc nghiệm và đúng sai

Câu 12: Để tính $\cos A$, ta cần biết độ dài các cạnh của tam giác ABC. Ta sẽ tính độ dài các cạnh AB, AC và BC bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm. 1. Tính độ dài cạnh AB: \[ AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 2. Tính độ dài cạnh AC: \[ AC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(1 - 5)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] 3. Tính độ dài cạnh BC: \[ BC = \sqrt{((-1) - 5)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] Bây giờ, ta sử dụng công thức cosin trong tam giác để tính $\cos A$: \[ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ \cos A = \frac{(\sqrt{5})^2 + 5^2 - (2\sqrt{10})^2}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot 5} = \frac{5 + 25 - 40}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot 5} = \frac{30 - 40}{10\sqrt{5}} = \frac{-10}{10\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{-1}{\sqrt{5}}} \] Câu 1: a) Khoảng cách giữa hai điểm A và B là: \[ AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] b) Diện tích tam giác ABC: Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 2(3 - 5) + (-2)(5 - 1) + 4(1 - 3) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 2(-2) + (-2)(4) + 4(-2) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -4 - 8 - 8 \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -20 \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \] c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác. Ta sẽ tìm phương trình đường trung trực của các cạnh AB, BC và CA. Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB: - Trung điểm của AB là \( M_{AB} = \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = (0, 2) \) - Vector pháp tuyến của AB là \( \vec{n}_{AB} = (4, 2) \) Phương trình đường trung trực: \[ 4(x - 0) + 2(y - 2) = 0 \] \[ 4x + 2y - 4 = 0 \] \[ 2x + y - 2 = 0 \] Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC: - Trung điểm của BC là \( M_{BC} = \left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = (1, 4) \) - Vector pháp tuyến của BC là \( \vec{n}_{BC} = (6, -2) \) Phương trình đường trung trực: \[ 6(x - 1) - 2(y - 4) = 0 \] \[ 6x - 6 - 2y + 8 = 0 \] \[ 6x - 2y + 2 = 0 \] \[ 3x - y + 1 = 0 \] Giao điểm của hai đường trung trực: \[ 2x + y - 2 = 0 \] \[ 3x - y + 1 = 0 \] Giải hệ phương trình: \[ 2x + y = 2 \] \[ 3x - y = -1 \] Cộng hai phương trình: \[ 5x = 1 \] \[ x = \frac{1}{5} \] Thay \( x = \frac{1}{5} \) vào \( 2x + y = 2 \): \[ 2 \left( \frac{1}{5} \right) + y = 2 \] \[ \frac{2}{5} + y = 2 \] \[ y = 2 - \frac{2}{5} \] \[ y = \frac{10}{5} - \frac{2}{5} \] \[ y = \frac{8}{5} \] Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \( I \left( \frac{1}{5}, \frac{8}{5} \right) \). d) Đường thẳng đi qua hai điểm A và B cắt trục Ox tại điểm M: Phương trình đường thẳng AB: - Vector AB là \( \vec{AB} = (-4, 2) \) Phương trình tham số: \[ x = 2 - 4t \] \[ y = 1 + 2t \] Để đường thẳng cắt trục Ox, ta đặt \( y = 0 \): \[ 1 + 2t = 0 \] \[ t = -\frac{1}{2} \] Thay \( t = -\frac{1}{2} \) vào phương trình tham số: \[ x = 2 - 4 \left( -\frac{1}{2} \right) \] \[ x = 2 + 2 \] \[ x = 4 \] Vậy điểm M có tọa độ \( M(4, 0) \). Diện tích tam giác CBM: \[ S_{CBM} = \frac{1}{2} \left| 4(3 - 0) + (-2)(0 - 5) + 4(5 - 3) \right| \] \[ S_{CBM} = \frac{1}{2} \left| 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-5) + 4 \cdot 2 \right| \] \[ S_{CBM} = \frac{1}{2} \left| 12 + 10 + 8 \right| \] \[ S_{CBM} = \frac{1}{2} \left| 30 \right| \] \[ S_{CBM} = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \] Diện tích tam giác CAB: \[ S_{CAB} = 10 \] Vậy diện tích tam giác CBM gấp đôi diện tích tam giác CAB: \[ S_{CBM} = 2 \times S_{CAB} \] \[ 15 = 2 \times 10 \] Đáp số: a) \( 2\sqrt{5} \) b) 10 c) \( I \left( \frac{1}{5}, \frac{8}{5} \right) \) d) Diện tích tam giác CBM gấp đôi diện tích tam giác CAB. Câu 2: a) Tọa độ trung điểm của AB là $I(1;-2).$ Để kiểm tra, ta tính tọa độ trung điểm của AB: \[ I_x = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ I_y = \frac{3 + (-1)}{2} = 1 \] Tọa độ trung điểm của AB là \( I(3;1) \). Vậy mệnh đề này là sai. b) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \( G\left(\frac{13}{3}; \frac{4}{3}\right) \). Để kiểm tra, ta tính tọa độ trọng tâm của tam giác ABC: \[ G_x = \frac{2 + 4 + 7}{3} = \frac{13}{3} \] \[ G_y = \frac{3 + (-1) + 2}{3} = \frac{4}{3} \] Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \( G\left(\frac{13}{3}; \frac{4}{3}\right) \). Vậy mệnh đề này là đúng. c) Điểm M là giao điểm của BC và Ox có tọa độ là \( M(3;0) \). Để kiểm tra, ta viết phương trình đường thẳng BC: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B(4; -1) và C(7; 2): \[ y - (-1) = \frac{2 - (-1)}{7 - 4}(x - 4) \] \[ y + 1 = \frac{3}{3}(x - 4) \] \[ y + 1 = x - 4 \] \[ y = x - 5 \] Để tìm giao điểm của BC với Ox (y = 0): \[ 0 = x - 5 \] \[ x = 5 \] Vậy giao điểm của BC với Ox là \( M(5;0) \). Vậy mệnh đề này là sai. d) Tọa độ hình chiếu H của A trên BC là \( H(4;1) \). Để kiểm tra, ta viết phương trình đường thẳng BC: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B(4; -1) và C(7; 2): \[ y - (-1) = \frac{2 - (-1)}{7 - 4}(x - 4) \] \[ y + 1 = \frac{3}{3}(x - 4) \] \[ y + 1 = x - 4 \] \[ y = x - 5 \] Phương trình đường thẳng vuông góc với BC và đi qua A(2; 3): Phương trình đường thẳng BC có dạng \( y = x - 5 \), nên phương trình đường thẳng vuông góc với nó sẽ có dạng \( y = -x + c \). Thay tọa độ điểm A(2; 3) vào: \[ 3 = -2 + c \] \[ c = 5 \] Vậy phương trình đường thẳng vuông góc với BC và đi qua A là: \[ y = -x + 5 \] Giao điểm của hai đường thẳng này: \[ x - 5 = -x + 5 \] \[ 2x = 10 \] \[ x = 5 \] Thay \( x = 5 \) vào phương trình \( y = x - 5 \): \[ y = 5 - 5 = 0 \] Vậy giao điểm là \( H(5;0) \). Vậy mệnh đề này là sai. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 3: a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (3 - (-1), 0 - 2) = (4, -2) \] b) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB: \[ I = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{2 + 0}{2} \right) = (1, 1) \] c) Kiểm tra xem $\overrightarrow{AB}$ có vuông góc với $\overrightarrow{BC}$ hay không: Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (2 - 3, -1 - 0) = (-1, -1) \] Hai vectơ vuông góc nếu tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (4)(-1) + (-2)(-1) = -4 + 2 = -2 \neq 0 \] Vậy $\overrightarrow{AB}$ không vuông góc với $\overrightarrow{BC}$. d) Diện tích của tam giác ABC: Ta sử dụng công thức diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right| \] Thay tọa độ vào: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| (-1)(0 - (-1)) + 3((-1) - 2) + 2(2 - 0) \right| = \frac{1}{2} \left| (-1)(1) + 3(-3) + 2(2) \right| = \frac{1}{2} \left| -1 - 9 + 4 \right| = \frac{1}{2} \left| -6 \right| = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \] Đáp số: a) $\overrightarrow{AB} = (4, -2)$ b) Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm $I(1, 1)$ c) $\overrightarrow{AB}$ không vuông góc với $\overrightarrow{BC}$ d) Diện tích của tam giác ABC là 3. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của các vectơ lực: - Lực $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn 1800N và nằm trên trục Ox, do đó tọa độ của nó là $(1800, 0)$. - Lực $\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn 250N và hợp với $\overrightarrow{F_1}$ một góc 7°. Ta sẽ tìm tọa độ của $\overrightarrow{F_2}$ bằng cách sử dụng công thức tọa độ của vectơ: \[ F_{2x} = |\overrightarrow{F_2}| \cos(7^\circ) = 250 \cos(7^\circ) \] \[ F_{2y} = |\overrightarrow{F_2}| \sin(7^\circ) = 250 \sin(7^\circ) \] 2. Tính giá trị cụ thể của các thành phần tọa độ: - Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\cos(7^\circ)$ và $\sin(7^\circ)$: \[ \cos(7^\circ) \approx 0.9925 \] \[ \sin(7^\circ) \approx 0.1219 \] - Do đó: \[ F_{2x} = 250 \times 0.9925 \approx 248.125 \] \[ F_{2y} = 250 \times 0.1219 \approx 30.475 \] 3. Tìm tổng của hai vectơ lực: - Tổng của hai vectơ lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là: \[ \overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} \] - Tọa độ của tổng vectơ lực $\overrightarrow{F}$ là: \[ F_x = F_{1x} + F_{2x} = 1800 + 248.125 = 2048.125 \] \[ F_y = F_{1y} + F_{2y} = 0 + 30.475 = 30.475 \] 4. Tính độ lớn của tổng vectơ lực: - Độ lớn của tổng vectơ lực $\overrightarrow{F}$ là: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(2048.125)^2 + (30.475)^2} \] - Thực hiện phép tính: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{2048.125^2 + 30.475^2} \approx \sqrt{4194304.015625 + 928.750625} \approx \sqrt{4195232.76625} \approx 2048.22 \] 5. Tính góc giữa tổng vectơ lực và trục Ox: - Góc $\theta$ giữa tổng vectơ lực $\overrightarrow{F}$ và trục Ox là: \[ \tan(\theta) = \frac{F_y}{F_x} = \frac{30.475}{2048.125} \] - Thực hiện phép tính: \[ \tan(\theta) \approx 0.01488 \] - Tìm góc $\theta$: \[ \theta = \arctan(0.01488) \approx 0.85^\circ \] Kết luận: - Tổng của hai vectơ lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn khoảng 2048.22N và hợp với trục Ox một góc khoảng 0.85°.