trả lời trắc nghiệm trả lời ngắn và tự luận

Câu 1. Để tìm thời điểm hai tàu gần nhau nhất, ta cần tính khoảng cách giữa hai tàu A và B theo thời gian t, sau đó tìm giá trị t làm cho khoảng cách này nhỏ nhất. Bước 1: Xác định tọa độ của hai tàu A và B: - Tàu A: $(x_A, y_A) = (3 - 33t, -4 + 25t)$ - Tàu B: $(x_B, y_B) = (4 - 30t, 3 - 40t)$ Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai tàu A và B: Khoảng cách giữa hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ là: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Áp dụng vào tọa độ của tàu A và B: \[ d(t) = \sqrt{[(4 - 30t) - (3 - 33t)]^2 + [(3 - 40t) - (-4 + 25t)]^2} \] \[ d(t) = \sqrt{(4 - 30t - 3 + 33t)^2 + (3 - 40t + 4 - 25t)^2} \] \[ d(t) = \sqrt{(1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2} \] Bước 3: Tìm giá trị t làm cho khoảng cách d(t) nhỏ nhất: Ta sẽ tìm đạo hàm của d(t) và đặt nó bằng 0 để tìm giá trị t tối ưu. \[ d(t) = \sqrt{(1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2} \] Đạo hàm của d(t): \[ d'(t) = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{(1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2} \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: \[ d'(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{(1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2}} \cdot \left[ 2(1 + 3t) \cdot 3 + 2(7 - 65t) \cdot (-65) \right] \] \[ d'(t) = \frac{1}{\sqrt{(1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2}} \cdot \left[ 3(1 + 3t) - 65(7 - 65t) \right] \] \[ d'(t) = \frac{1}{\sqrt{(1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2}} \cdot \left[ 3 + 9t - 455 + 4225t \right] \] \[ d'(t) = \frac{1}{\sqrt{(1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2}} \cdot \left[ 4234t - 452 \right] \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị t: \[ 4234t - 452 = 0 \] \[ 4234t = 452 \] \[ t = \frac{452}{4234} \approx 0.1067 \text{ giờ} \] Vậy sau khoảng 0.107 giờ (làm tròn đến hàng phần nghìn), hai tàu gần nhau nhất. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số của tập hợp \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \). 2. Xác định số lượng các số tự nhiên trong tập hợp \( S \). 3. Xác định số lượng các số tự nhiên trong tập hợp \( S \) có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ. 4. Tính xác suất của sự kiện "chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp \( S \) có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ". Bước 1: Xác định tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt Các chữ số có thể chọn từ tập hợp \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \). Số lượng các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ 7 chữ số này là: \[ 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840 \] Bước 2: Xác định số lượng các số tự nhiên trong tập hợp \( S \) Tập hợp \( S \) bao gồm tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số của tập hợp \( A \). Như đã tính ở trên, số lượng các số tự nhiên trong tập hợp \( S \) là 840. Bước 3: Xác định số lượng các số tự nhiên trong tập hợp \( S \) có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ Trong tập hợp \( A \), các chữ số chẵn là \( \{2, 4, 6\} \) và các chữ số lẻ là \( \{1, 3, 5, 7\} \). - Chọn 2 chữ số chẵn từ 3 chữ số chẵn: \( \binom{3}{2} = 3 \) - Chọn 2 chữ số lẻ từ 4 chữ số lẻ: \( \binom{4}{2} = 6 \) Số cách chọn 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ là: \[ 3 \times 6 = 18 \] Mỗi bộ 4 chữ số này có thể sắp xếp theo \( 4! = 24 \) cách khác nhau. Vậy số lượng các số tự nhiên trong tập hợp \( S \) có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ là: \[ 18 \times 24 = 432 \] Bước 4: Tính xác suất của sự kiện "chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp \( S \) có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ" Xác suất của sự kiện này là: \[ P = \frac{\text{Số lượng các số tự nhiên có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ}}{\text{Tổng số lượng các số tự nhiên trong tập hợp } S} = \frac{432}{840} \approx 0.514 \] Làm tròn đến phần mười, ta có: \[ P \approx 0.5 \] Vậy xác suất để số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ là \( 0.5 \). Câu 1. Ta có: \[ |2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}|^2 = (2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}) \cdot (2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}) \] \[ = 4|\overrightarrow{a}|^2 + 9|\overrightarrow{b}|^2 - 12(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 5^2 = 4(3^2) + 9(4^2) - 12(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] \[ 25 = 4(9) + 9(16) - 12(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] \[ 25 = 36 + 144 - 12(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] \[ 25 = 180 - 12(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] \[ 12(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 180 - 25 \] \[ 12(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 155 \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{155}{12} \] Bây giờ, ta tính \( |2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}| \): \[ |2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}|^2 = (2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \cdot (2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \] \[ = 4|\overrightarrow{a}|^2 + 9|\overrightarrow{b}|^2 + 12(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ |2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}|^2 = 4(3^2) + 9(4^2) + 12\left(\frac{155}{12}\right) \] \[ = 4(9) + 9(16) + 155 \] \[ = 36 + 144 + 155 \] \[ = 335 \] Do đó: \[ |2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}| = \sqrt{335} \] Đáp số: \( \sqrt{335} \) Câu 2. Trước tiên, ta xác định phương trình của parabol dựa trên các thông tin đã cho. 1. Xác định trục đối xứng và đỉnh của parabol: - Khoảng cách giữa hai chân trụ tháp là 27m, do đó trục đối xứng của parabol nằm chính giữa, tức là tại điểm x = 13,5m. - Độ cao của đỉnh trụ tháp là h (chúng ta sẽ tìm giá trị này). 2. Xác định điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26m: - Điểm này nằm cách chân trụ tháp 2,26m, do đó tọa độ của nó là (2,26, 0). 3. Xác định điểm trên parabol cách chân trụ tháp 2,26m và có độ cao 20m: - Điểm này có tọa độ là (2,26, 20). 4. Lập phương trình parabol: - Parabol có dạng y = a(x - 13,5)^2 + h. - Thay tọa độ điểm (2,26, 20) vào phương trình: \[ 20 = a(2,26 - 13,5)^2 + h \] \[ 20 = a(-11,24)^2 + h \] \[ 20 = a \cdot 126,3376 + h \] 5. Xác định điểm gốc (điểm tiếp xúc với mặt đất): - Điểm gốc của parabol là (0, 0), do đó thay vào phương trình: \[ 0 = a(0 - 13,5)^2 + h \] \[ 0 = a \cdot 182,25 + h \] \[ h = -182,25a \] 6. Giải hệ phương trình: - Ta có hai phương trình: \[ 20 = 126,3376a + h \] \[ h = -182,25a \] - Thay h từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất: \[ 20 = 126,3376a - 182,25a \] \[ 20 = -55,9124a \] \[ a = -\frac{20}{55,9124} \approx -0,3576 \] - Thay a vào phương trình để tìm h: \[ h = -182,25 \cdot (-0,3576) \approx 65 \] Vậy độ cao h của đỉnh trụ tháp cầu so với mặt đất là 65m. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số các tam giác có thể tạo thành từ 13 điểm: - Tổng số điểm là 13 (7 điểm đỏ + 6 điểm xanh). - Số cách chọn 3 điểm bất kỳ từ 13 điểm là: \[ C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286 \] 2. Tìm số tam giác có 2 đỉnh màu đỏ: - Số cách chọn 2 điểm từ 7 điểm đỏ là: \[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] - Số cách chọn 1 điểm từ 6 điểm xanh là: \[ C_6^1 = 6 \] - Số tam giác có 2 đỉnh màu đỏ và 1 đỉnh màu xanh là: \[ 21 \times 6 = 126 \] 3. Tính xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ: - Xác suất là tỉ số giữa số tam giác có 2 đỉnh màu đỏ và tổng số tam giác: \[ P = \frac{126}{286} = \frac{63}{143} \] Vậy xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là $\frac{63}{143}$.