giúp e với ạ

Câu 1. a) Khoảng cách giữa hai tiêu điểm của elip (E) bằng 3. - Ta có \(a^2 = 25\) và \(b^2 = 16\), suy ra \(a = 5\) và \(b = 4\). - Khoảng cách giữa hai tiêu điểm là \(2c\), trong đó \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\). - Vậy khoảng cách giữa hai tiêu điểm là \(2c = 2 \times 3 = 6\). Do đó, mệnh đề này sai. b) Điểm \(A(0; -4)\) thuộc elip (E). - Thay tọa độ điểm \(A(0; -4)\) vào phương trình elip: \[ \frac{0^2}{25} + \frac{(-4)^2}{16} = 0 + \frac{16}{16} = 1 \] - Phương trình đúng, vậy điểm \(A(0; -4)\) thuộc elip (E). Do đó, mệnh đề này đúng. c) Cho \(M\) là điểm thuộc (E) thỏa mãn \(2MF_1 - MF_2 = 8\). Khi đó \(MF_2 = 6\). - Ta biết rằng tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm là \(2a = 10\). - Gọi \(MF_1 = d_1\) và \(MF_2 = d_2\), ta có \(d_1 + d_2 = 10\). - Theo giả thiết, ta có \(2d_1 - d_2 = 8\). Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} d_1 + d_2 = 10 \\ 2d_1 - d_2 = 8 \end{cases} \] - Cộng hai phương trình lại: \[ (d_1 + d_2) + (2d_1 - d_2) = 10 + 8 \] \[ 3d_1 = 18 \] \[ d_1 = 6 \] - Thay \(d_1 = 6\) vào phương trình \(d_1 + d_2 = 10\): \[ 6 + d_2 = 10 \] \[ d_2 = 4 \] Vậy \(MF_2 = 4\), không phải 6. Do đó, mệnh đề này sai. d) Elip (E) có tiêu điểm \(F_1(-3; 0)\), \(F_2(3; 0)\). - Ta đã tính \(c = 3\), nên hai tiêu điểm của elip là \(F_1(-3; 0)\) và \(F_2(3; 0)\). Do đó, mệnh đề này đúng. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Đúng Câu 2. a) Ta có: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;-2), B(-3;-1)$ là $x + 4y + 7 = 0$ Gọi giao điểm của đường thẳng $AB$ và $(\Delta)$ là $I(a; b)$ Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a + 4b + 7 = 0 \\ 3a + 4b - 5 = 0\end{array}\right.$ Giải hệ phương trình này ta được $a = 6$ và $b = -\frac{13}{4}$ Vậy $2ab = 2 \times 6 \times (-\frac{13}{4}) = -39$ b) Ta có: Phương trình đường thẳng $(\Delta)$ là $3x + 4y - 5 = 0$ Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng $(\Delta)$ có dạng $3x + 4y + c = 0$ Khoảng cách từ điểm $A(1; -2)$ đến đường thẳng $(\Delta)$ là $\frac{|3 \times 1 + 4 \times (-2) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 3$ Từ đó ta suy ra $c = 20$ hoặc $c = 10$ Vậy phương trình đường thẳng $(d)$ là $3x + 4y + 20 = 0$ hoặc $3x + 4y + 10 = 0$ c) Ta có: Điểm $A(1; -2)$ thuộc đường thẳng $(\Delta)$ vì thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình của đường thẳng $(\Delta)$ ta được $3 \times 1 + 4 \times (-2) - 5 = 0$ d) Ta có: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(1; -2)$ và $B(-3; -1)$ là $x + 4y + 7 = 0$ Câu 1. Để tính khoảng cách từ đường thẳng \(d\) đến đường thẳng \(\Delta\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \(d: 2x - 3y + 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec{n_d} = (2, -3)\). - Đường thẳng \(\Delta: \left\{\begin{array}{l} x = 2 + 3t \\ y = 3 + 2t \end{array}\right.\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{u_\Delta} = (3, 2)\). Do đó, vectơ pháp tuyến của \(\Delta\) là \(\vec{n_\Delta} = (-2, 3)\). 2. Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song hay trùng nhau không: - Ta thấy rằng \(\vec{n_d} = -\vec{n_\Delta}\), tức là hai vectơ pháp tuyến là đối nhau. Điều này chứng tỏ hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta\) song song hoặc trùng nhau. 3. Kiểm tra xem hai đường thẳng có trùng nhau không: - Lấy điểm \(M(2, 3)\) thuộc đường thẳng \(\Delta\). Thay tọa độ của điểm \(M\) vào phương trình của đường thẳng \(d\): \[ 2(2) - 3(3) + 6 = 4 - 9 + 6 = 1 \neq 0 \] - Vì \(M\) không nằm trên đường thẳng \(d\), nên hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta\) không trùng nhau. 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: - Chọn một điểm \(A(x_1, y_1)\) thuộc đường thẳng \(d\). Ta chọn điểm \(A(0, 2)\) (thay \(x = 0\) vào phương trình \(d\)). - Chọn một điểm \(B(x_2, y_2)\) thuộc đường thẳng \(\Delta\). Ta chọn điểm \(B(2, 3)\) (thay \(t = 0\) vào phương trình tham số của \(\Delta\)). 5. Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta\): - Phương trình đường thẳng \(\Delta\) có dạng \(2x + 3y - 13 = 0\) (được viết lại từ phương trình tham số). - Khoảng cách từ điểm \(A(0, 2)\) đến đường thẳng \(\Delta\) là: \[ d = \frac{|2(0) + 3(2) - 13|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|6 - 13|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-7|}{\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}} \] 6. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: - \(\frac{7}{\sqrt{13}} \approx \frac{7}{3.60555} \approx 1.94\) Vậy khoảng cách từ đường thẳng \(d\) đến đường thẳng \(\Delta\) là \(\boxed{1.94}\). Câu 2. Để tìm điểm \( I(a; b) \) sao cho \( B \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AI \), ta áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng \( AI \) có tọa độ là: \[ M\left(\frac{x_A + x_I}{2}; \frac{y_A + y_I}{2}\right) \] Theo đề bài, \( B(-1; 6) \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AI \). Do đó, ta có: \[ \left(\frac{2 + a}{2}; \frac{2 + b}{2}\right) = (-1; 6) \] Ta lập hệ phương trình từ đây: \[ \frac{2 + a}{2} = -1 \] \[ \frac{2 + b}{2} = 6 \] Giải phương trình đầu tiên: \[ \frac{2 + a}{2} = -1 \] \[ 2 + a = -2 \] \[ a = -4 \] Giải phương trình thứ hai: \[ \frac{2 + b}{2} = 6 \] \[ 2 + b = 12 \] \[ b = 10 \] Vậy tọa độ của điểm \( I \) là \( (-4; 10) \). Tiếp theo, ta tính \( T = a + b \): \[ T = -4 + 10 = 6 \] Do đó, \( T = 6 \). Đáp số: \( T = 6 \). Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm M. 2. Tìm tọa độ của hai tiêu điểm \( F_1 \) và \( F_2 \). 3. Tính khoảng cách từ điểm M đến mỗi tiêu điểm. 4. Tính tổng khoảng cách \( MF_1 + MF_2 \). Bước 1: Xác định tọa độ của điểm M. - Điểm M thuộc elip \((E)\) có hoành độ \( x_4 = -13 \). Thay \( x = -13 \) vào phương trình elip: \[ \frac{(-13)^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1 \] \[ \frac{169}{169} + \frac{y^2}{144} = 1 \] \[ 1 + \frac{y^2}{144} = 1 \] \[ \frac{y^2}{144} = 0 \] \[ y^2 = 0 \] \[ y = 0 \] Vậy tọa độ của điểm M là \( (-13, 0) \). Bước 2: Tìm tọa độ của hai tiêu điểm \( F_1 \) và \( F_2 \). - Elip có dạng \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \( a^2 = 169 \) và \( b^2 = 144 \). Do đó, \( a = 13 \) và \( b = 12 \). - Khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là \( c \), với \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \): \[ c = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \] - Tiêu điểm \( F_1 \) và \( F_2 \) nằm trên trục hoành, cách tâm elip (0,0) một khoảng \( c \) về hai phía. Vậy tọa độ của hai tiêu điểm là \( F_1 = (-5, 0) \) và \( F_2 = (5, 0) \). Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm M đến mỗi tiêu điểm. - Khoảng cách từ M đến \( F_1 \): \[ MF_1 = \sqrt{((-13) - (-5))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-13 + 5)^2} = \sqrt{(-8)^2} = 8 \] - Khoảng cách từ M đến \( F_2 \): \[ MF_2 = \sqrt{((-13) - 5)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-13 - 5)^2} = \sqrt{(-18)^2} = 18 \] Bước 4: Tính tổng khoảng cách \( MF_1 + MF_2 \). \[ MF_1 + MF_2 = 8 + 18 = 26 \] Vậy giá trị của \( p \) là 26. Câu 4. Để tìm phương trình tổng quát của đường tròn (C) đi qua ba điểm $A(3;4)$, $B(1;2)$ và $C(5;2)$, ta sẽ thay tọa độ của ba điểm này vào phương trình tổng quát của đường tròn $x^2 + y^2 + px + qy + 9 = 0$. 1. Thay tọa độ của điểm $A(3;4)$ vào phương trình: \[ 3^2 + 4^2 + 3p + 4q + 9 = 0 \] \[ 9 + 16 + 3p + 4q + 9 = 0 \] \[ 34 + 3p + 4q = 0 \quad \text{(1)} \] 2. Thay tọa độ của điểm $B(1;2)$ vào phương trình: \[ 1^2 + 2^2 + p + 2q + 9 = 0 \] \[ 1 + 4 + p + 2q + 9 = 0 \] \[ 14 + p + 2q = 0 \quad \text{(2)} \] 3. Thay tọa độ của điểm $C(5;2)$ vào phương trình: \[ 5^2 + 2^2 + 5p + 2q + 9 = 0 \] \[ 25 + 4 + 5p + 2q + 9 = 0 \] \[ 38 + 5p + 2q = 0 \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 34 + 3p + 4q = 0 & \text{(1)} \\ 14 + p + 2q = 0 & \text{(2)} \\ 38 + 5p + 2q = 0 & \text{(3)} \end{cases} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm $p$ và $q$. Trước hết, ta sẽ trừ phương trình (2) từ phương trình (1): \[ (34 + 3p + 4q) - (14 + p + 2q) = 0 \] \[ 34 + 3p + 4q - 14 - p - 2q = 0 \] \[ 20 + 2p + 2q = 0 \] \[ 10 + p + q = 0 \quad \text{(4)} \] Tiếp theo, ta sẽ trừ phương trình (2) từ phương trình (3): \[ (38 + 5p + 2q) - (14 + p + 2q) = 0 \] \[ 38 + 5p + 2q - 14 - p - 2q = 0 \] \[ 24 + 4p = 0 \] \[ 4p = -24 \] \[ p = -6 \] Thay $p = -6$ vào phương trình (4): \[ 10 + (-6) + q = 0 \] \[ 4 + q = 0 \] \[ q = -4 \] Vậy phương trình tổng quát của đường tròn là: \[ x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0 \] Cuối cùng, ta tính $T = p + 4$: \[ T = -6 + 4 = -2 \] Đáp số: $T = -2$ Câu 1 Phương trình của parabol đã cho là $4y^2 = 20x$. Ta sẽ biến đổi phương trình này về dạng chuẩn của parabol. Bước 1: Chia cả hai vế của phương trình cho 4: \[ y^2 = 5x \] Bước 2: So sánh với phương trình chuẩn của parabol $y^2 = 4ax$, ta nhận thấy rằng $4a = 5$. Do đó: \[ a = \frac{5}{4} \] Bước 3: Tọa độ tiêu điểm của parabol $y^2 = 4ax$ là $(a, 0)$. Vì vậy, tọa độ tiêu điểm của parabol $y^2 = 5x$ là: \[ \left( \frac{5}{4}, 0 \right) \] Đáp số: Tọa độ tiêu điểm của parabol là $\left( \frac{5}{4}, 0 \right)$. Câu 2 Để lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;1)$ và vuông góc với đường thẳng $d: 4x + 2y + 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) có phương trình \(4x + 2y + 1 = 0\). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là \(\vec{n} = (4, 2)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\): Vì đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(d\), vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) sẽ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\vec{u} = (2, -4)\). 3. Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\): Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(1, 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (2, -4)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 - 4t \end{cases} \] trong đó \(t\) là tham số. Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 - 4t \end{cases} \] Câu 3 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương trình của hình elip và tính toán khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm. Bước 1: Xác định phương trình của hình elip. - Hình elip có trục lớn (2a) là 26m, do đó bán kính lớn (a) là 13m. - Hình elip có trục nhỏ (2b) là 22m, do đó bán kính nhỏ (b) là 11m. - Phương trình của hình elip là: \[ \frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{11^2} = 1 \] Bước 2: Tìm tọa độ của điểm cách chân tường 5m. - Điểm này nằm trên trục hoành, cách gốc O (trung tâm của hình elip) 5m về phía dương. - Tọa độ của điểm này là (5, y). Bước 3: Thay tọa độ của điểm này vào phương trình của hình elip để tìm y. \[ \frac{5^2}{13^2} + \frac{y^2}{11^2} = 1 \] \[ \frac{25}{169} + \frac{y^2}{121} = 1 \] \[ \frac{y^2}{121} = 1 - \frac{25}{169} \] \[ \frac{y^2}{121} = \frac{169 - 25}{169} \] \[ \frac{y^2}{121} = \frac{144}{169} \] \[ y^2 = \frac{144}{169} \times 121 \] \[ y^2 = \frac{144 \times 121}{169} \] \[ y^2 = \frac{17424}{169} \] \[ y = \sqrt{\frac{17424}{169}} \] \[ y = \frac{\sqrt{17424}}{13} \] \[ y = \frac{132}{13} \] \[ y \approx 10.15 \] Bước 4: Kết luận khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm. - Khoảng cách này là y, tức là khoảng cách từ điểm (5, 0) đến điểm (5, 10.15) là 10.15m. Đáp số: Khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm là 10.15m.