xfuxfcuyxyxxfy

Câu 1. Để tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$, ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng không vì một phân số không thể có mẫu số bằng không. Bước 1: Xác định điều kiện của mẫu số: \[ x - 1 \neq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ x \neq 1 \] Bước 3: Kết luận tập xác định: Tập xác định của hàm số là tất cả các số thực ngoại trừ 1. Do đó, tập xác định là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \textcircled{A.}~D=\mathbb R\setminus\{1\}. \] Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần phân tích đồ thị của hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$ dựa vào các đặc điểm của nó. 1. Phân tích đồ thị: - Đồ thị của hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$ là một parabol. - Parabol này mở lên, tức là nó có dạng uốn cong hướng lên trên. Điều này cho thấy hệ số $a > 0$. 2. Kiểm tra tính chất của $\Delta$: - Ta thấy rằng đồ thị không cắt trục hoành, nghĩa là phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ không có nghiệm thực. Điều này tương đương với $\Delta < 0$. Từ những phân tích trên, ta có: - $a > 0$ - $\Delta < 0$ Do đó, mệnh đề đúng là: \[ A. \left\{\begin{array}{l} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{array}\right. \] Đáp án: $A$. Câu 3. Để tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(-3;2) \) và \( B(1;4) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (1 - (-3), 4 - 2) = (4, 2) \] 2. Xác định vectơ pháp tuyến: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là vectơ vuông góc với vectơ \( \overrightarrow{AB} \). Ta biết rằng hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Do đó, nếu \( \overrightarrow{n} = (a, b) \) là vectơ pháp tuyến thì: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \implies (4, 2) \cdot (a, b) = 0 \implies 4a + 2b = 0 \] Điều này có nghĩa là \( 2a + b = 0 \) hoặc \( b = -2a \). 3. Chọn giá trị cho \( a \) và \( b \): Chọn \( a = 1 \), ta có \( b = -2 \). Vậy tọa độ của vectơ pháp tuyến là \( (1, -2) \). 4. Kiểm tra đáp án: Các lựa chọn đã cho là: - \( A.~(4;2) \) - \( B.~(2;-1) \) - \( C.~(-1;2) \) - \( D.~(1;2) \) Trong các lựa chọn này, chỉ có \( B.~(2;-1) \) thỏa mãn điều kiện \( b = -2a \) (với \( a = 2 \) và \( b = -1 \)). Vậy tọa độ của vectơ pháp tuyến là \( (2, -1) \). Đáp án đúng là: \( B.~(2;-1) \). Câu 4. Để tìm bán kính của đường tròn từ phương trình \(x^2 + y^2 - 10x - 11 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương: Ta cần hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\). Phương trình ban đầu: \[ x^2 + y^2 - 10x - 11 = 0 \] Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\): \[ x^2 - 10x + y^2 = 11 \] Hoàn thành bình phương cho \(x^2 - 10x\): \[ x^2 - 10x + 25 - 25 + y^2 = 11 \] \[ (x - 5)^2 - 25 + y^2 = 11 \] \[ (x - 5)^2 + y^2 = 36 \] 2. Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn có dạng chuẩn là \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), trong đó \((a, b)\) là tọa độ tâm và \(r\) là bán kính. So sánh với phương trình đã hoàn thành bình phương: \[ (x - 5)^2 + y^2 = 36 \] Ta thấy đây là phương trình của đường tròn với tâm \((5, 0)\) và bán kính \(r\) thoả mãn \(r^2 = 36\). 3. Tìm bán kính: \[ r = \sqrt{36} = 6 \] Vậy bán kính của đường tròn là \(6\). Đáp án đúng là: C. 6. Câu 5. Phương trình chính tắc của một elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ và $b$ là các hằng số dương. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình nào đúng với dạng này: A. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$ - Đây là phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, với $a^2 = 2$ và $b^2 = 3$. Do đó, phương trình này là phương trình chính tắc của một elip. B. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{8} = 1$ - Đây là phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, với $a^2 = 9$ và $b^2 = 8$. Phương trình này là phương trình chính tắc của một hyperbol, không phải elip. C. $\frac{x}{9} + \frac{y}{8} = 1$ - Đây là phương trình của một đường thẳng, không phải là phương trình chính tắc của một elip. D. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$ - Đây là phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, với $a^2 = 9$ và $b^2 = 8$. Do đó, phương trình này là phương trình chính tắc của một elip. Như vậy, cả hai phương trình A và D đều là phương trình chính tắc của một elip. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, ta chọn phương án đúng nhất trong các phương án đã cho. Đáp án: $\textcircled{D.}~\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$. Câu 6. Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: $A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$ Lý do: - Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là số cách chọn k phần tử từ n phần tử và sắp xếp chúng theo thứ tự nhất định. - Ta có n lựa chọn cho phần tử đầu tiên, (n-1) lựa chọn cho phần tử thứ hai, ..., và (n-k+1) lựa chọn cho phần tử cuối cùng. - Do đó, tổng số cách chọn và sắp xếp này là $n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1)$. - Điều này có thể viết lại dưới dạng $\frac{n!}{(n-k)!}$. Vậy đáp án đúng là: $D.~A^k_n=\frac{n!}{(n-k)!}.$ Câu 7. Ta có khai triển nhị thức $(x + 1)^n$ sẽ có $n + 1$ số hạng. Theo đề bài, khai triển này có tất cả 5 số hạng, tức là: \[ n + 1 = 5 \] Giải phương trình này ta được: \[ n = 5 - 1 \] \[ n = 4 \] Vậy đáp án đúng là B. 4. Câu 8. Khi tung một đồng xu hai lần liên tiếp, ta có thể liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra như sau: - Kết quả thứ nhất: Mặt ngửa (H) và Mặt ngửa (H) - Kết quả thứ hai: Mặt ngửa (H) và Mặt sấp (T) - Kết quả thứ ba: Mặt sấp (T) và Mặt ngửa (H) - Kết quả thứ tư: Mặt sấp (T) và Mặt sấp (T) Như vậy, ta có 4 kết quả có thể xảy ra: (H, H), (H, T), (T, H), (T, T). Biến cố B là "Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt ngửa", tức là kết quả (H, H). Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 1 (chỉ có kết quả (H, H)). Số kết quả có thể xảy ra là 4 (như đã liệt kê ở trên). Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{1}{4} \] Vậy xác suất của biến cố B là $\frac{1}{4}$. Đáp án đúng là: $A.~\frac{1}{4}$. Câu 9. Để tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta_1$: Đường thẳng $\Delta_1$ có phương trình: $2x + y + 7 = 0$. Vectơ pháp tuyến của $\Delta_1$ là $\vec{n}_1 = (2, 1)$. 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_2$: Đường thẳng $\Delta_2$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{d}_2 = (3, -1)$. 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa vectơ pháp tuyến của đường thẳng thứ nhất và vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ hai. Ta sử dụng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{d}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{d}_2|} \] - Tích vô hướng $\vec{n}_1 \cdot \vec{d}_2$: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{d}_2 = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 6 - 1 = 5 \] - Độ dài của vectơ $\vec{n}_1$: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] - Độ dài của vectơ $\vec{d}_2$: \[ |\vec{d}_2| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] - Tính $\cos(\theta)$: \[ \cos(\theta) = \frac{|5|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Tìm góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $45^\circ$. Đáp án đúng là $B.~45^0$. Câu 10. Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ là bán kính trục lớn và $b$ là bán kính trục nhỏ. Trước tiên, ta biết rằng độ dài trục lớn của elip là 10, do đó bán kính trục lớn $a = \frac{10}{2} = 5$. Vậy $a^2 = 25$. Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, và nó được tính bằng công thức $2c$, trong đó $c$ là khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm. Ta biết rằng tiêu cự bằng 6, do đó $2c = 6$ và $c = 3$. Theo mối liên hệ giữa các đại lượng của elip, ta có: \[ c^2 = a^2 - b^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 3^2 = 5^2 - b^2 \] \[ 9 = 25 - b^2 \] \[ b^2 = 25 - 9 \] \[ b^2 = 16 \] Vậy phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1} \] Câu 11. Để lập được số tự nhiên lẻ và có ba chữ số khác nhau đôi một từ tập hợp \( A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Chọn chữ số hàng đơn vị: - Để số tự nhiên là số lẻ, chữ số hàng đơn vị phải là một trong các số lẻ: 1, 3, hoặc 5. - Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị. 2. Chọn chữ số hàng chục: - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ số nào trong tập hợp \( A \) ngoại trừ số đã chọn làm chữ số hàng đơn vị và số 0 (vì số 0 không thể đứng đầu một số có ba chữ số). - Nếu chữ số hàng đơn vị là 1, thì có 4 cách chọn chữ số hàng chục (2, 3, 4, 5). - Nếu chữ số hàng đơn vị là 3, thì có 4 cách chọn chữ số hàng chục (1, 2, 4, 5). - Nếu chữ số hàng đơn vị là 5, thì có 4 cách chọn chữ số hàng chục (1, 2, 3, 4). 3. Chọn chữ số hàng trăm: - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ số nào trong tập hợp \( A \) ngoại trừ số đã chọn làm chữ số hàng đơn vị và số đã chọn làm chữ số hàng chục. - Có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị, mỗi cách chọn này sẽ còn lại 4 số để chọn chữ số hàng chục, và sau khi chọn chữ số hàng chục, còn lại 4 số để chọn chữ số hàng trăm. Do đó, tổng số cách chọn là: \[ 3 \text{ (cách chọn chữ số hàng đơn vị)} \times 4 \text{ (cách chọn chữ số hàng chục)} \times 4 \text{ (cách chọn chữ số hàng trăm)} = 3 \times 4 \times 4 = 48 \] Vậy, từ tập hợp \( A \), ta có thể lập được 48 số tự nhiên lẻ và có ba chữ số khác nhau đôi một. Đáp án đúng là: A. 48. Câu 12. Để khai triển nhị thức \( (3x + 4)^5 \), ta sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó, \( a = 3x \), \( b = 4 \), và \( n = 5 \). Ta sẽ tính từng hạng tử của khai triển: 1. Hạng tử thứ nhất: \[ \binom{5}{0} (3x)^5 4^0 = 1 \cdot (3x)^5 \cdot 1 = 243x^5 \] 2. Hạng tử thứ hai: \[ \binom{5}{1} (3x)^4 4^1 = 5 \cdot (3x)^4 \cdot 4 = 5 \cdot 81x^4 \cdot 4 = 1620x^4 \] 3. Hạng tử thứ ba: \[ \binom{5}{2} (3x)^3 4^2 = 10 \cdot (3x)^3 \cdot 16 = 10 \cdot 27x^3 \cdot 16 = 4320x^3 \] 4. Hạng tử thứ tư: \[ \binom{5}{3} (3x)^2 4^3 = 10 \cdot (3x)^2 \cdot 64 = 10 \cdot 9x^2 \cdot 64 = 5760x^2 \] 5. Hạng tử thứ năm: \[ \binom{5}{4} (3x)^1 4^4 = 5 \cdot (3x)^1 \cdot 256 = 5 \cdot 3x \cdot 256 = 3840x \] 6. Hạng tử thứ sáu: \[ \binom{5}{5} (3x)^0 4^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1024 = 1024 \] Ghép tất cả các hạng tử lại, ta có: \[ (3x + 4)^5 = 243x^5 + 1620x^4 + 4320x^3 + 5760x^2 + 3840x + 1024 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~243x^5 + 1620x^4 + 4320x^3 + 5760x^2 + 3840x + 1024 \]