mđmlamamann Noe Daso,1 Cho $\Delta ABC$ nhon $(AB

Question

mđmlamamann Noe Daso,1 Cho $\Delta ABC$ nhon $(AB<AC)$ nội tiếp đường,tròn (O; R). Hai đg cao AD; BE của,$\Delta ABC$ cắt nhau tại H.,Gọi M, N lần lượt là giao điểm của,đ. tròn (O) với các tia BE ; AD.,nội tiếp và xác định,$a)~C/m~ABDE$,tâm I của đường tròn này.,Từ đó suy ra $DE//MN$,b) Kẻ đường kính CK của đường tròn (O),Chứng minh tứ giác AKBH là hbh,,từ đó suy ra ba điểm H ; I, K,thẳng hàng.,2 Một ng` đi xe máy từ A đến B,hết 1h30&#x27; rồi tiếp tục đi từ B đến C,hết 2 giờ.,Tìm vận tốc ng` đi xe máy trên mỗi,qđ AB và BC. Biết qđ xe máy đi,từ A đến C dài 150 km và vt xe máy,đi trên qđ AB nhỏ hơn vt đi trên gđ BC,là 5km/h

Timi · Accepted Answer

1. a) Ta có $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường tròn (O) với các tia BE và AD.

- Vì $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn (O; R), nên góc $\angle ACB$ và góc $\angle AMB$ đều chắn cung AB, do đó $\angle ACB = \angle AMB$. 
- Tương tự, góc $\angle ABC$ và góc $\angle ANB$ đều chắn cung AC, do đó $\angle ABC = \angle ANB$.

Do đó, tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn (I) và tâm I của đường tròn này nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

- Vì M và N là giao điểm của đường tròn (O) với các tia BE và AD, nên MN là đường kính của đường tròn (O). 
- Đường kính MN vuông góc với đường trung trực của đoạn thẳng DE, do đó $DE // MN$.

b) Kẻ đường kính CK của đường tròn (O).

- Vì CK là đường kính của đường tròn (O), nên $\angle CAK = 90^\circ$ và $\angle CBK = 90^\circ$. 
- Tứ giác AKBH có $\angle AHB = 90^\circ$ (vì H là trực tâm của $\Delta ABC$), $\angle AKH = 90^\circ$ (vì CK là đường kính), do đó AKBH là hình bình hành. 
- Hình bình hành AKBH có hai đường chéo AH và BK vuông góc với nhau, do đó AKBH là hình thang vuông. 
- Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE, và đường trung trực này đi qua tâm O của đường tròn (O). 
- Do đó, ba điểm H, I và K thẳng hàng.

2. Gọi vận tốc người đi xe máy trên quãng đường AB là $v_{AB}$ (km/h) và vận tốc người đi xe máy trên quãng đường BC là $v_{BC}$ (km/h).

- Thời gian người đi xe máy từ A đến B là 1,5 giờ, thời gian người đi xe máy từ B đến C là 2 giờ. 
- Tổng quãng đường từ A đến C là 150 km, do đó ta có phương trình:
$$ v_{AB} \times 1,5 + v_{BC} \times 2 = 150 $$

- Vận tốc xe máy đi trên quãng đường AB nhỏ hơn vận tốc đi trên quãng đường BC là 5 km/h, do đó ta có phương trình:
$$ v_{BC} = v_{AB} + 5 $$

Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất, ta được:
$$ v_{AB} \times 1,5 + (v_{AB} + 5) \times 2 = 150 $$
$$ 1,5v_{AB} + 2v_{AB} + 10 = 150 $$
$$ 3,5v_{AB} + 10 = 150 $$
$$ 3,5v_{AB} = 140 $$
$$ v_{AB} = 40 \text{ (km/h)} $$

Vận tốc xe máy đi trên quãng đường BC là:
$$ v_{BC} = 40 + 5 = 45 \text{ (km/h)} $$

Đáp số: $v_{AB} = 40 \text{ km/h}$, $v_{BC} = 45 \text{ km/h}$.