Giải giúp mình bài này với 2) Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. gọi I là trung điểm của OB. Tia CI,cắt đường tròn (O;R) tại E. Nối AE cắt CD tại H; nối BD cắt AE tại K.,a) Chứng minh bốn điểm O,E,I,D cùng thuộc một đường tròn.,b) Chứng minh $AH.AE=2R^2$ và tinh $\frac{OH}{OA}.$,c) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh K, O, M thẳng hàng.

Question

Timi · Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{CID}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tứ giác OEDC nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°). Suy ra $\widehat{OED}=\widehat{OCD}=90^\circ$. 
Từ đó ta có $\widehat{OED}+\widehat{OID}=180^\circ$ nên bốn điểm O, E, I, D cùng thuộc một đường tròn.
b) Ta có $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác AEB vuông tại A. 
Suy ra $AE^2=AH.AB$ (định lý đường cao trong tam giác vuông). 
Mà $AB=2R$ nên $AH.AE=2R^2$. 
Ta có $\widehat{OHE}=\widehat{OCE}=45^\circ$ (cùng chắn cung OE) nên tam giác OHE vuông cân tại H. 
Suy ra $OH=OE=R$. 
Từ đó $\frac{OH}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$.
c) Ta có $\widehat{AOC}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác AOC vuông tại O. 
Suy ra OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC của tam giác AOC. 
Từ đó $OM=\frac{AC}{2}$. 
Ta có $\widehat{AOD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác AOD vuông tại O. 
Suy ra $OK=\frac{AD}{2}$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD của tam giác AOD). 
Mà $AC=AD$ (cả hai đều bằng đường kính của đường tròn) nên $OM=OK$. 
Từ đó ta có K, O, M thẳng hàng (nếu một điểm nằm giữa đường thẳng nối hai điểm thì nó nằm trên đường thẳng đó).