Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = $\frac{1}{a^2+2b^2+}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ P = \frac{1}{a^2 + 2b^2 + 3} + \frac{1}{b^2 + 2c^2 + 3} + \frac{1}{c^2 + 2a^2 + 3} $, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho từng phân thức.

Ta có:
$$ a^2 + 2b^2 + 3 \geq 3\sqrt[3]{a^2 \cdot 2b^2 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{6a^2b^2} $$

Tương tự:
$$ b^2 + 2c^2 + 3 \geq 3\sqrt[3]{b^2 \cdot 2c^2 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{6b^2c^2} $$
$$ c^2 + 2a^2 + 3 \geq 3\sqrt[3]{c^2 \cdot 2a^2 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{6c^2a^2} $$

Bước 2: Kết hợp các bất đẳng thức trên.

Do $abc = 1$, ta có:
$$ a^2b^2c^2 = 1 $$

Vậy:
$$ 3\sqrt[3]{6a^2b^2} = 3\sqrt[3]{6 \cdot 1} = 3\sqrt[3]{6} $$

Tương tự:
$$ 3\sqrt[3]{6b^2c^2} = 3\sqrt[3]{6} $$
$$ 3\sqrt[3]{6c^2a^2} = 3\sqrt[3]{6} $$

Bước 3: Áp dụng kết quả vào biểu thức $P$.

$$ P = \frac{1}{a^2 + 2b^2 + 3} + \frac{1}{b^2 + 2c^2 + 3} + \frac{1}{c^2 + 2a^2 + 3} \leq \frac{1}{3\sqrt[3]{6}} + \frac{1}{3\sqrt[3]{6}} + \frac{1}{3\sqrt[3]{6}} = \frac{3}{3\sqrt[3]{6}} = \frac{1}{\sqrt[3]{6}} $$

Bước 4: Kiểm tra giá trị lớn nhất.

Giá trị lớn nhất của $P$ đạt được khi $a = b = c = 1$:
$$ P = \frac{1}{1^2 + 2 \cdot 1^2 + 3} + \frac{1}{1^2 + 2 \cdot 1^2 + 3} + \frac{1}{1^2 + 2 \cdot 1^2 + 3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} $$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $\frac{1}{2}$, đạt được khi $a = b = c = 1$.

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =