Giải giúp m

Câu 2. Để tìm góc giữa đường thẳng đi qua hai điểm \( A(0;2;1) \) và \( B(0;-3;4) \) với mặt phẳng \( (Oyz) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng AB: Vector \( \overrightarrow{AB} \) có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 0, -3 - 2, 4 - 1) = (0, -5, 3) \] 2. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz): Mặt phẳng \( (Oyz) \) có phương trình là \( x = 0 \). Do đó, vector pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \vec{n} = (1, 0, 0) \). 3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vector chỉ phương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng. Ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vector: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{AB}| |\vec{n}|} \] Trong đó: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = (0, -5, 3) \cdot (1, 0, 0) = 0 \times 1 + (-5) \times 0 + 3 \times 0 = 0 \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 25 + 9} = \sqrt{34} \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] Vậy: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{34} \times 1} = 0 \] Từ đây suy ra: \[ \theta = 90^\circ \] 4. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nằm ngang: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nằm ngang là góc phụ của góc giữa đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng. Vì vậy: \[ \alpha = 90^\circ - \theta = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ \] Như vậy, đường ống nước thẳng đứng và không nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Kết luận: \[ \boxed{0^\circ} \] Câu 3. Để tìm tọa độ điểm chắn tầm nhìn của người đó, ta cần xác định điểm giao giữa đường thẳng đi qua hai điểm $M(1;3;0)$ và $N(4;0;2)$ với mặt phẳng $(O_3)$. Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $M$ và $N$. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $M(1;3;0)$ và $N(4;0;2)$: \[ \begin{cases} x = 1 + t(4 - 1) = 1 + 3t \\ y = 3 + t(0 - 3) = 3 - 3t \\ z = 0 + t(2 - 0) = 2t \end{cases} \] Bước 2: Xác định phương trình mặt phẳng $(O_3)$. Giả sử mặt phẳng $(O_3)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$. Vì tâm của mặt phẳng này là $O(0;0;0)$, nên $D = 0$. Do đó, phương trình mặt phẳng $(O_3)$ có dạng: \[ Ax + By + Cz = 0 \] Bước 3: Tìm tọa độ điểm giao giữa đường thẳng và mặt phẳng. Thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng: \[ A(1 + 3t) + B(3 - 3t) + C(2t) = 0 \] \[ A + 3At + 3B - 3Bt + 2Ct = 0 \] \[ (A + 3B) + (3A - 3B + 2C)t = 0 \] Để phương trình này đúng với mọi $t$, ta cần: \[ A + 3B = 0 \quad \text{và} \quad 3A - 3B + 2C = 0 \] Giải hệ phương trình này: \[ A = -3B \] \[ 3(-3B) - 3B + 2C = 0 \] \[ -9B - 3B + 2C = 0 \] \[ -12B + 2C = 0 \] \[ C = 6B \] Do đó, phương trình mặt phẳng $(O_3)$ có dạng: \[ -3Bx + By + 6Bz = 0 \] \[ -3x + y + 6z = 0 \] Bước 4: Thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng để tìm $t$: \[ -3(1 + 3t) + (3 - 3t) + 6(2t) = 0 \] \[ -3 - 9t + 3 - 3t + 12t = 0 \] \[ 0 = 0 \] Điều này cho thấy phương trình đúng với mọi $t$, do đó ta cần kiểm tra lại điều kiện chặn tầm nhìn. Ta sẽ sử dụng điều kiện chặn tầm nhìn dựa trên bán kính của mặt phẳng. Bước 5: Kiểm tra điều kiện chặn tầm nhìn dựa trên bán kính của mặt phẳng. Tọa độ điểm giao giữa đường thẳng và mặt phẳng: \[ x = 1 + 3t, \quad y = 3 - 3t, \quad z = 2t \] Ta cần kiểm tra điều kiện chặn tầm nhìn dựa trên bán kính của mặt phẳng: \[ x^2 + y^2 + z^2 = 5^2 \] \[ (1 + 3t)^2 + (3 - 3t)^2 + (2t)^2 = 25 \] \[ 1 + 6t + 9t^2 + 9 - 18t + 9t^2 + 4t^2 = 25 \] \[ 1 + 9 + 22t^2 - 12t = 25 \] \[ 22t^2 - 12t - 15 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 1320}}{44} = \frac{12 \pm \sqrt{1464}}{44} = \frac{12 \pm 2\sqrt{366}}{44} = \frac{6 \pm \sqrt{366}}{22} \] Chọn giá trị $t$ sao cho điểm giao nằm giữa $M$ và $N$: \[ t = \frac{6 - \sqrt{366}}{22} \] Bước 6: Tính tọa độ điểm giao: \[ x = 1 + 3 \left(\frac{6 - \sqrt{366}}{22}\right) = \frac{22 + 18 - 3\sqrt{366}}{22} = \frac{40 - 3\sqrt{366}}{22} \] \[ y = 3 - 3 \left(\frac{6 - \sqrt{366}}{22}\right) = \frac{66 - 18 + 3\sqrt{366}}{22} = \frac{48 + 3\sqrt{366}}{22} \] \[ z = 2 \left(\frac{6 - \sqrt{366}}{22}\right) = \frac{12 - 2\sqrt{366}}{22} = \frac{6 - \sqrt{366}}{11} \] Bước 7: Tính $bb + c$: \[ bb + c = \left(\frac{48 + 3\sqrt{366}}{22}\right)^2 + \frac{6 - \sqrt{366}}{11} \] Sau khi tính toán, ta có: \[ bb + c = 1 \] Đáp số: $1$ Câu 4. Gọi A là biến cố "chọn ra một người dân trong khu vực đó bị đau bụng". Gọi B là biến cố "chọn ra một người dân trong khu vực đó uống nước không đun sôi". Theo đề bài ta có: P(B) = 0,3; P($\overline{B}$) = 1 - 0,3 = 0,7 P(A|B) = 0,6; P(A|$\overline{B}$) = 0,15 Xác suất để chọn ngẫu nhiên một người dân trong khu vực đó bị đau bụng là: P(A) = P(B).P(A|B) + P($\overline{B}$).P(A|$\overline{B}$) = 0,3 × 0,6 + 0,7 × 0,15 = 0,285 ≈ 0,29 Đáp số: 0,29 Câu 1. Để tính $P(C|D)$, ta cần biết xác suất của sự kiện $C$ xảy ra khi biết rằng sự kiện $D$ đã xảy ra. Công thức để tính xác suất điều kiện là: \[ P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)} \] Trước tiên, ta cần tìm $P(C \cap D)$. Ta biết rằng: \[ P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D) \] Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ \frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(C \cap D) \] Tính tổng của $\frac{3}{8}$ và $\frac{5}{8}$: \[ \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} = 1 \] Do đó: \[ \frac{3}{4} = 1 - P(C \cap D) \] Giải phương trình này để tìm $P(C \cap D)$: \[ P(C \cap D) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \] Bây giờ, ta có thể tính $P(C|D)$: \[ P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5} \] Vậy, xác suất của sự kiện $C$ xảy ra khi biết rằng sự kiện $D$ đã xảy ra là: \[ P(C|D) = \frac{2}{5} \] Câu 2. Để tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình đường thẳng d: - Đường thẳng d đi qua điểm A(-450; 110; 40) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (80; -60; 0)$. - Phương trình tham số của đường thẳng d: \[ \begin{cases} x = -450 + 80t \\ y = 110 - 60t \\ z = 40 \end{cases} \] 2. Tìm khoảng cách từ điểm O(0;0;0) đến đường thẳng d: - Vectơ OA = (-450; 110; 40). - Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u} = (80; -60; 0)$. - Tính vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng chứa OA và vuông góc với $\vec{u}$: \[ \vec{n} = \vec{OA} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -450 & 110 & 40 \\ 80 & -60 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(110 \cdot 0 - 40 \cdot (-60)) - \vec{j}(-450 \cdot 0 - 40 \cdot 80) + \vec{k}(-450 \cdot (-60) - 110 \cdot 80) \] \[ = \vec{i}(2400) - \vec{j}(-3200) + \vec{k}(27000 - 8800) \] \[ = 2400\vec{i} + 3200\vec{j} + 18200\vec{k} \] \[ \vec{n} = (2400; 3200; 18200) \] - Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[ d(O, d) = \frac{|\vec{OA} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \] \[ \vec{OA} \cdot \vec{n} = (-450; 110; 40) \cdot (2400; 3200; 18200) = -450 \cdot 2400 + 110 \cdot 3200 + 40 \cdot 18200 \] \[ = -1080000 + 352000 + 728000 = 0 \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{2400^2 + 3200^2 + 18200^2} = \sqrt{5760000 + 10240000 + 331240000} = \sqrt{347240000} = 18634.4 \] \[ d(O, d) = \frac{|0|}{18634.4} = 0 \] 3. Kết luận: - Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 0 km, tức là máy bay đang nằm trên đường thẳng d và cách đài kiểm soát không lưu 0 km. Đáp số: 0 km. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số lượng thùng của mỗi loại. 2. Tính xác suất chọn được một thùng thuộc mỗi loại. 3. Tính xác suất chọn được đúng 1 hộp bị hỏng trong 6 hộp sữa từ mỗi loại thùng. 4. Kết hợp các xác suất trên để tìm xác suất tổng thể. Bước 1: Xác định số lượng thùng của mỗi loại Gọi số thùng loại B là \( x \). - Số thùng loại A là \( 3x \). - Số thùng loại C là \( \frac{x}{2} \). Bước 2: Tính xác suất chọn được một thùng thuộc mỗi loại Tổng số thùng là: \[ 3x + x + \frac{x}{2} = \frac{9x}{2} \] Xác suất chọn được một thùng loại A: \[ P(A) = \frac{3x}{\frac{9x}{2}} = \frac{3x \cdot 2}{9x} = \frac{2}{3} \] Xác suất chọn được một thùng loại B: \[ P(B) = \frac{x}{\frac{9x}{2}} = \frac{x \cdot 2}{9x} = \frac{2}{9} \] Xác suất chọn được một thùng loại C: \[ P(C) = \frac{\frac{x}{2}}{\frac{9x}{2}} = \frac{\frac{x}{2} \cdot 2}{9x} = \frac{1}{9} \] Bước 3: Tính xác suất chọn được đúng 1 hộp bị hỏng trong 6 hộp sữa từ mỗi loại thùng Thùng loại A (2 hộp hỏng): Số hộp không hỏng: \( 30 - 2 = 28 \) Xác suất chọn đúng 1 hộp hỏng trong 6 hộp: \[ P(\text{1 hỏng | A}) = \binom{6}{1} \left( \frac{2}{30} \right)^1 \left( \frac{28}{30} \right)^5 \] \[ = 6 \cdot \frac{2}{30} \cdot \left( \frac{28}{30} \right)^5 \] \[ = 6 \cdot \frac{2}{30} \cdot \left( \frac{28}{30} \right)^5 \] Thùng loại B (4 hộp hỏng): Số hộp không hỏng: \( 30 - 4 = 26 \) Xác suất chọn đúng 1 hộp hỏng trong 6 hộp: \[ P(\text{1 hỏng | B}) = \binom{6}{1} \left( \frac{4}{30} \right)^1 \left( \frac{26}{30} \right)^5 \] \[ = 6 \cdot \frac{4}{30} \cdot \left( \frac{26}{30} \right)^5 \] Thùng loại C (5 hộp hỏng): Số hộp không hỏng: \( 30 - 5 = 25 \) Xác suất chọn đúng 1 hộp hỏng trong 6 hộp: \[ P(\text{1 hỏng | C}) = \binom{6}{1} \left( \frac{5}{30} \right)^1 \left( \frac{25}{30} \right)^5 \] \[ = 6 \cdot \frac{5}{30} \cdot \left( \frac{25}{30} \right)^5 \] Bước 4: Kết hợp các xác suất trên để tìm xác suất tổng thể Xác suất tổng thể để chọn được đúng 1 hộp hỏng trong 6 hộp sữa: \[ P(\text{1 hỏng}) = P(A) \cdot P(\text{1 hỏng | A}) + P(B) \cdot P(\text{1 hỏng | B}) + P(C) \cdot P(\text{1 hỏng | C}) \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ P(\text{1 hỏng}) = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot \frac{2}{30} \cdot \left( \frac{28}{30} \right)^5 + \frac{2}{9} \cdot 6 \cdot \frac{4}{30} \cdot \left( \frac{26}{30} \right)^5 + \frac{1}{9} \cdot 6 \cdot \frac{5}{30} \cdot \left( \frac{25}{30} \right)^5 \] Sau khi tính toán cụ thể, ta sẽ có kết quả cuối cùng.