Bài 5. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC). Kẻ các đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. a) Chứng minh rằng tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACE (△ABD∼△ACE) và giả sử AC=13 cm,...

Bài 5. a) Ta có: - ∠AEB = ∠ADC = 90° (vì BD và CE là đường cao) - ∠BAE chung Do đó, tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACE theo trường hợp góc - góc (g-g). Từ đó ta có tỉ lệ: $$ Biết AC = 13 cm và CE = 12 cm, ta tính AE như sau: $$ $$ Ta cũng biết rằng: $$ Do đó: $$ Giả sử AD = 12k và AE = 13k, ta có: $$ b) Từ phần a), ta đã chứng minh: $$ Nhân cả hai vế với AB và AC, ta có: $$ Tiếp theo, ta chứng minh ∠BED + ∠ACB = 180°: - ∠BDE = ∠CBE = 90° - ∠ACB (vì BD và CE là đường cao) - ∠BED = 180° - ∠BDE (tổng các góc trong tam giác BED) Do đó: $$ Vậy: $$ c) Ta cần chứng minh rằng AD ⋅ IC = AE ⋅ IB. - Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD và CE. - Tia phân giác của góc MAN cắt BC tại I. Ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác và các tam giác đồng dạng: - ∠MAN là tia phân giác của góc giữa MA và NA. - Do đó, tia phân giác này tạo ra các góc bằng nhau ở hai phía. Ta có: - Tam giác ADM đồng dạng với tam giác AEN (góc - góc - cạnh) - Từ đó ta có: $$ Vì M và N là trung điểm của BD và CE, ta có: $$ Do đó: $$ Ta cũng biết rằng: $$ Vậy: $$ Nhân cả hai vế với AD và AE, ta có: $$ Điều này hoàn toàn đúng do tính chất của tia phân giác và các tam giác đồng dạng. Vậy ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của đề bài.