oapksoqkzkanz

Câu 1.1: Ta có khai triển nhị thức Niu-tơn của $(2-3x)^5$ là: \[ (2-3x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 2^{5-k} (-3x)^k \] Trong đó, $\binom{5}{k}$ là hệ số nhị thức Niu-tơn, $2^{5-k}$ là lũy thừa của 2, và $(-3x)^k$ là lũy thừa của $-3x$. Để tìm hệ số của số hạng chứa $x^2$, ta cần xác định giá trị của $k$ sao cho $(-3x)^k$ có dạng $x^2$. Điều này xảy ra khi $k = 2$. Thay $k = 2$ vào công thức khai triển, ta có: \[ \binom{5}{2} 2^{5-2} (-3x)^2 = \binom{5}{2} 2^3 (-3)^2 x^2 \] Bây giờ, ta tính từng thành phần: \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] \[ 2^3 = 8 \] \[ (-3)^2 = 9 \] Nhân các thành phần lại với nhau: \[ 10 \times 8 \times 9 = 720 \] Vậy hệ số của số hạng chứa $x^2$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(2-3x)^5$ là 720. Đáp số: 720 Câu 1.2. Ta sẽ sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để tìm hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (x + 5)^5 \). Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = x \), \( b = 5 \), và \( n = 5 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^3 \), tức là \( k = 2 \) vì \( x^{5-2} = x^3 \). Áp dụng công thức, ta có: \[ (x + 5)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} 5^k \] Chúng ta quan tâm đến hạng tử có \( x^3 \), tức là \( k = 2 \): \[ \binom{5}{2} x^{5-2} 5^2 = \binom{5}{2} x^3 5^2 \] Bây giờ, ta tính \( \binom{5}{2} \) và \( 5^2 \): \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] \[ 5^2 = 25 \] Như vậy, hệ số của \( x^3 \) là: \[ 10 \times 25 = 250 \] Vậy hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (x + 5)^5 \) là 250. Câu 1.3. Ta sẽ sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để tìm hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (2x + 5)^4 \). Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = 2x \), \( b = 5 \), và \( n = 4 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^3 \), tức là \( k = 1 \) vì \( (2x)^{4-1} = (2x)^3 \). Áp dụng công thức: \[ (2x + 5)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^{4-k} 5^k \] Chúng ta quan tâm đến hạng tử có \( k = 1 \): \[ \binom{4}{1} (2x)^{4-1} 5^1 = \binom{4}{1} (2x)^3 5 \] Tính toán các thành phần: \[ \binom{4}{1} = 4 \] \[ (2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3 \] \[ 5^1 = 5 \] Nhân các thành phần lại với nhau: \[ 4 \cdot 8x^3 \cdot 5 = 4 \cdot 8 \cdot 5 \cdot x^3 = 160x^3 \] Vậy hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (2x + 5)^4 \) là 160. Đáp số: 160 Câu 2.1: Để chọn ra ba học sinh tham gia văn nghệ của Đoàn trường, trong đó có đúng một nam, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chọn 1 học sinh nam từ 20 học sinh nam. Số cách chọn 1 học sinh nam từ 20 học sinh nam là: \[ C_{20}^{1} = 20 \] Bước 2: Chọn 2 học sinh nữ từ 18 học sinh nữ. Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 18 học sinh nữ là: \[ C_{18}^{2} = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153 \] Bước 3: Tính tổng số cách chọn 3 học sinh (gồm 1 nam và 2 nữ). Tổng số cách chọn là: \[ 20 \times 153 = 3060 \] Vậy, số cách chọn ra ba học sinh tham gia văn nghệ của Đoàn trường, trong đó có đúng một nam là 3060 cách. Câu 2.2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp để tính số cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 2 nam và 3 nữ từ nhóm học sinh gồm 7 nam và 10 nữ. Bước 1: Tính số cách chọn 2 nam từ 7 nam. Số cách chọn 2 nam từ 7 nam là: \[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] Bước 2: Tính số cách chọn 3 nữ từ 10 nữ. Số cách chọn 3 nữ từ 10 nữ là: \[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] Bước 3: Tính tổng số cách chọn 5 học sinh trong đó có 2 nam và 3 nữ. Số cách chọn 5 học sinh trong đó có 2 nam và 3 nữ là: \[ C_7^2 \times C_{10}^3 = 21 \times 120 = 2520 \] Vậy, có 2520 cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 2 nam và 3 nữ. Đáp số: 2520 cách.