kwsoaoxoiaiz

Câu 2.3: Để lập được đề kiểm tra theo yêu cầu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chọn 3 câu dễ từ 9 câu dễ: Số cách chọn 3 câu dễ từ 9 câu dễ là: \[ C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \] 2. Chọn 2 câu trung bình từ 7 câu trung bình: Số cách chọn 2 câu trung bình từ 7 câu trung bình là: \[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] 3. Chọn 2 câu khó từ 4 câu khó: Số cách chọn 2 câu khó từ 4 câu khó là: \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] 4. Tính tổng số cách lập đề kiểm tra: Tổng số cách lập đề kiểm tra là tích của số cách chọn ở từng loại câu: \[ 84 \times 21 \times 6 = 10584 \] Vậy, có thể lập được 10584 đề kiểm tra theo yêu cầu. Câu 2.4: Để chọn 5 bạn học sinh sao cho có đúng 3 học sinh nữ, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn 3 học sinh nữ từ 20 học sinh nữ. Số cách chọn 3 học sinh nữ từ 20 học sinh nữ là: \[ C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \] Bước 2: Chọn 2 học sinh nam từ 15 học sinh nam. Số cách chọn 2 học sinh nam từ 15 học sinh nam là: \[ C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \] Bước 3: Tính tổng số cách chọn 5 bạn học sinh sao cho có đúng 3 học sinh nữ. Tổng số cách chọn là: \[ 1140 \times 105 = 119700 \] Vậy, có 119700 cách chọn 5 bạn học sinh sao cho có đúng 3 học sinh nữ. Câu 3.1: Để tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\sqrt{3x^2-6x+1}=\sqrt{-2x^2-9x+1}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có hai căn thức, do đó ta cần đảm bảo rằng các biểu thức dưới căn đều không âm: \[ 3x^2 - 6x + 1 \geq 0 \] \[ -2x^2 - 9x + 1 \geq 0 \] Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức \[ (\sqrt{3x^2-6x+1})^2 = (\sqrt{-2x^2-9x+1})^2 \] \[ 3x^2 - 6x + 1 = -2x^2 - 9x + 1 \] Bước 3: Gom các hạng tử về một vế và giải phương trình bậc hai \[ 3x^2 - 6x + 1 + 2x^2 + 9x - 1 = 0 \] \[ 5x^2 + 3x = 0 \] \[ x(5x + 3) = 0 \] Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5x + 3 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{3}{5} \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định - Với \( x = 0 \): \[ 3(0)^2 - 6(0) + 1 = 1 \geq 0 \] \[ -2(0)^2 - 9(0) + 1 = 1 \geq 0 \] Vậy \( x = 0 \) thỏa mãn ĐKXĐ. - Với \( x = -\frac{3}{5} \): \[ 3\left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 6\left(-\frac{3}{5}\right) + 1 = 3\left(\frac{9}{25}\right) + \frac{18}{5} + 1 = \frac{27}{25} + \frac{90}{25} + \frac{25}{25} = \frac{142}{25} > 0 \] \[ -2\left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 9\left(-\frac{3}{5}\right) + 1 = -2\left(\frac{9}{25}\right) + \frac{27}{5} + 1 = -\frac{18}{25} + \frac{135}{25} + \frac{25}{25} = \frac{142}{25} > 0 \] Vậy \( x = -\frac{3}{5} \) cũng thỏa mãn ĐKXĐ. Bước 6: Tính tổng các nghiệm \[ 0 + \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{5} \] Kết luận: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là \(-\frac{3}{5}\). Câu 3.1: Để tính tích tất cả các nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2 + x + 3} = 1 - x$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có căn thức ở vế trái, do đó: \[ 2x^2 + x + 3 \geq 0 \] và \[ 1 - x \geq 0 \] Từ điều kiện thứ hai, ta có: \[ x \leq 1 \] Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức \[ (\sqrt{2x^2 + x + 3})^2 = (1 - x)^2 \] \[ 2x^2 + x + 3 = 1 - 2x + x^2 \] Bước 3: Rút gọn phương trình \[ 2x^2 + x + 3 = 1 - 2x + x^2 \] \[ 2x^2 + x + 3 - 1 + 2x - x^2 = 0 \] \[ x^2 + 3x + 2 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Phương trình $x^2 + 3x + 2 = 0$ có dạng chuẩn $ax^2 + bx + c = 0$. Ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = 3$, $c = 2$: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm 1}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định - Với $x = -1$: \[ 1 - (-1) = 2 \geq 0 \] (thỏa mãn) \[ 2(-1)^2 + (-1) + 3 = 2 - 1 + 3 = 4 \geq 0 \] (thỏa mãn) - Với $x = -2$: \[ 1 - (-2) = 3 \geq 0 \] (thỏa mãn) \[ 2(-2)^2 + (-2) + 3 = 8 - 2 + 3 = 9 \geq 0 \] (thỏa mãn) Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định. Bước 6: Tính tích các nghiệm Tích của các nghiệm là: \[ x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot (-2) = 2 \] Kết luận: Tích tất cả các nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2 + x + 3} = 1 - x$ là 2. Câu 4.1: Để tìm số lượng các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Chọn chữ số hàng nghìn đầu tiên: - Chữ số hàng nghìn đầu tiên không thể là 0 vì vậy chúng ta có 9 lựa chọn (từ 1 đến 9). 2. Chọn chữ số hàng trăm: - Chữ số này phải khác chữ số hàng nghìn đầu tiên, do đó chúng ta còn lại 9 lựa chọn (từ 0 đến 9 trừ đi chữ số đã chọn ở hàng nghìn đầu tiên). 3. Chọn chữ số hàng chục: - Chữ số này phải khác cả hai chữ số đã chọn trước đó, do đó chúng ta còn lại 8 lựa chọn. 4. Chọn chữ số hàng đơn vị: - Chữ số này phải khác tất cả ba chữ số đã chọn trước đó, do đó chúng ta còn lại 7 lựa chọn. 5. Chọn chữ số hàng đơn vị thứ hai: - Chữ số này phải khác tất cả bốn chữ số đã chọn trước đó, do đó chúng ta còn lại 6 lựa chọn. Bây giờ, chúng ta nhân số lượng các lựa chọn ở mỗi bước để tìm tổng số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \] Tính toán: \[ 9 \times 9 = 81 \] \[ 81 \times 8 = 648 \] \[ 648 \times 7 = 4536 \] \[ 4536 \times 6 = 27216 \] Vậy, số lượng các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là 27216. Đáp số: 27216 Câu 4.2: Để tìm số lượng các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Xác định các trường hợp cho chữ số hàng trăm: - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 (không thể là 0 vì số đó phải có 3 chữ số). Do đó, có 9 lựa chọn cho chữ số hàng trăm. 2. Xác định các trường hợp cho chữ số hàng chục: - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 ngoại trừ chữ số đã chọn cho hàng trăm. Do đó, có 9 lựa chọn cho chữ số hàng chục. 3. Xác định các trường hợp cho chữ số hàng đơn vị: - Chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn để số đó là số chẵn. Các số chẵn có thể là 0, 2, 4, 6, 8. Tuy nhiên, chữ số này phải khác với hai chữ số đã chọn trước đó. Do đó, có 4 hoặc 5 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị tùy thuộc vào chữ số hàng chục đã chọn. Bây giờ, chúng ta sẽ tính tổng số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau: - Nếu chữ số hàng chục là 0, thì có 5 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị (2, 4, 6, 8). - Nếu chữ số hàng chục là 2, 4, 6, 8, thì có 4 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị (0, 2, 4, 6, 8 ngoại trừ chữ số hàng chục). Do đó, tổng số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau là: \[ 9 \times 9 \times 5 + 9 \times 4 \times 4 = 405 + 144 = 549 \] Vậy, có 549 số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau. Câu 4.3: Để tìm số lượng các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Xác định số lượng các lựa chọn cho từng chữ số: - Chữ số đầu tiên (chữ số hàng nghìn) có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 (không thể là 0 vì số đó phải là số có 4 chữ số). Do đó, có 9 lựa chọn cho chữ số này. - Chữ số thứ hai (chữ số hàng trăm) có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 ngoại trừ chữ số đã chọn cho hàng nghìn. Do đó, có 9 lựa chọn cho chữ số này. - Chữ số thứ ba (chữ số hàng chục) có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 ngoại trừ 2 chữ số đã chọn trước đó. Do đó, có 8 lựa chọn cho chữ số này. - Chữ số thứ tư (chữ số hàng đơn vị) có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 ngoại trừ 3 chữ số đã chọn trước đó. Do đó, có 7 lựa chọn cho chữ số này. 2. Tính tổng số lượng các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau: - Tổng số lượng các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là tích của số lượng các lựa chọn cho từng chữ số: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536 \] Vậy, có 4536 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.