Giúp mình với! Câu II. (1,5 điểm) $A=\frac{2\sqrt x-1}{\sqrt x-1}$,Cho hai biểu thức và $B=\frac{x+3}{x-1}+\frac2{\sqrt x+1}$ với $x\geq0,~x
e1.$,a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=4.$,b) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}.$,c) Tìm giá trị tự nhiên nhỏ nhất của x để biểu thức $A+B$ nhận giá trị không âm.

Question

Accepted Answer

Câu II.
a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=4.$

Thay $x=4$ vào biểu thức $A$, ta có:
$$ A = \frac{2\sqrt{4} - 1}{\sqrt{4} - 1} = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2 - 1} = \frac{4 - 1}{1} = 3 $$

b) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}.$

Biểu thức $B$ được cho là:
$$ B = \frac{x+3}{x-1} + \frac{2}{\sqrt{x}+1} $$

Ta sẽ biến đổi biểu thức này:
$$ B = \frac{x+3}{x-1} + \frac{2}{\sqrt{x}+1} $$

Nhân tử $\frac{2}{\sqrt{x}+1}$ với $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}$ để có mẫu chung:
$$ \frac{2}{\sqrt{x}+1} = \frac{2(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x-1} $$

Do đó:
$$ B = \frac{x+3}{x-1} + \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x-1} = \frac{x+3 + 2\sqrt{x} - 2}{x-1} = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x-1} $$

Nhận thấy rằng:
$$ x + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1)^2 $$

Vậy:
$$ B = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{x-1} = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} $$

c) Tìm giá trị tự nhiên nhỏ nhất của x để biểu thức $A+B$ nhận giá trị không âm.

Biểu thức $A+B$ là:
$$ A + B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} $$

Để biểu thức $A+B$ nhận giá trị không âm, ta cần:
$$ \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \geq 0 $$

Từ đây, ta thấy rằng:
$$ 3\sqrt{x} \geq 0 \quad \text{(luôn đúng vì } \sqrt{x} \geq 0) $$
$$ \sqrt{x} - 1 > 0 \quad \text{(vì mẫu số phải dương)} $$

Do đó:
$$ \sqrt{x} > 1 $$
$$ x > 1 $$

Giá trị tự nhiên nhỏ nhất của $x$ thỏa mãn điều kiện trên là $x = 2$.

Đáp số:
a) $A = 3$
b) Đã chứng minh $B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$
c) Giá trị tự nhiên nhỏ nhất của $x$ là $x = 2$.