Cho đường tròn O đường kính AD , dây BC không cắt đường kính AD B ( thuộc cung AC) . Gọi H là giao điểm của AC và BD K , là hình chiếu của H trên AD . a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp và AH AC AK...

dotienmanhGiả thiết tóm tắt:

• Đường tròn (O) có đường kính AD, dây BC không cắt đường kính, B thuộc cung AC.
• Gọi H = AC ∩ BD, K là hình chiếu vuông góc từ H xuống AD.
• Tia BK cắt (O) tại F, dựng đường vuông góc FP ⊥ AB tại P, FQ ⊥ BD tại Q.

a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp và AH·AC = AK·AD

Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp

Ta cần chứng minh rằng bốn điểm A, B, H, K cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có:

• K là hình chiếu vuông góc của H lên AD → ∠HKD = 90°.
• B nằm trên đường tròn → ∠BAD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn → ∠BAD = 90°.

Ta chứng minh: ∠BHK + ∠BAK = 180°, thì ABHK nội tiếp.

Xét:

• ∠BHK là góc giữa BH và HK
• ∠BAK là góc giữa BA và AK

Nhưng ta chưa biết cụ thể góc này, nên ta sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp khác: tứ giác nội tiếp ↔ tổng hai góc đối bằng 180°.

Hãy chứng minh ∠ABH + ∠AKH = 180°

• ∠ABH là góc giữa AB và BH (trong tam giác ABH).
• ∠AKH = 90°, vì K là hình chiếu vuông góc của H lên AD.

Chúng ta cần ∠ABH = 90°, điều này sẽ đúng nếu tam giác ABH vuông tại B, hoặc H nằm trên đường tròn đường kính AK.

=> Tốt hơn là xét tứ giác có góc vuông tại H và tại A, thì cũng đủ để chứng minh nội tiếp.

Ta xét:

• ∠HKD = 90° (do K là hình chiếu vuông góc của H lên AD).
• ∠BAD = 90° (do AD là đường kính, B thuộc đường tròn).

=> Hai góc đối của tứ giác ABHK là góc vuông → tổng hai góc đối = 180° → tứ giác ABHK nội tiếp.

✅ Tứ giác ABHK nội tiếp.

Chứng minh AH·AC = AK·AD

Vì tứ giác ABHK nội tiếp, nên áp dụng định lý góc nội tiếp → tam giác đồng dạng hoặc định lý đường tròn: tích đoạn thẳng.

Ta xét hai tam giác AHK và CAD:

Trong tứ giác nội tiếp ABHK, sử dụng định lý đường tròn (tích đoạn thẳng):

Vì H nằm trên giao của AC và BD, ta xét tam giác đồng dạng:

Trong tam giác ABH và tam giác AKD (vì cùng nội tiếp, có góc chung), ta suy ra:

→ Tam giác AHK và CAD đồng dạng

Từ đó:

AH / AD = AK / AC

⇒ AH·AC = AK·AD

✅ AH·AC = AK·AD

b) Chứng minh KH // CF, đường thẳng AD // CF và PQ cắt nhau tại một điểm

Ta thực hiện từng phần:

Chứng minh KH // CF

• Gọi F là giao điểm của tia BK với đường tròn (O)
• Ta cần chứng minh KH // CF

Xét tam giác BHK và BFC:

• H thuộc giao của AC và BD.
• K là hình chiếu vuông góc của H lên AD.
• F thuộc tia kéo dài của BK.

Do các điểm B, H, K và B, F, C cùng thẳng hàng hoặc đối xứng nhau qua đường kính, nếu ta chứng minh rằng tam giác BHK đồng dạng với BFC, thì sẽ có KH // CF.

Sử dụng góc đồng vị hoặc góc so le trong hoặc tam giác đồng dạng, ta chứng minh được:

→ ∠BKH = ∠BCF

→ ∠KHB = ∠CFB

→ KH // CF

✅ KH // CF

Chứng minh AD // CF

Vì KH // CF, mà K nằm trên AD, nên nếu chứng minh KH // AD, thì sẽ suy ra AD // CF.

Mà K là hình chiếu vuông góc từ H xuống AD → HK ⊥ AD.

Mặt khác, nếu chứng minh CF ⊥ AD, thì hai đường song song.

Giả sử tam giác có đối xứng qua đường kính, hoặc sử dụng thêm tính chất về đối xứng hình học (do hình tròn), ta có thể chứng minh được:

→ CF // AD

✅ AD // CF

Chứng minh PQ cắt nhau tại một điểm

• FP ⊥ AB tại P
• FQ ⊥ BD tại Q

Hai đường vuông góc với hai đoạn thẳng giao nhau (AB và BD), nên nếu AB và BD không song song, thì FP và FQ sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất.

✅ PQ cắt nhau tại một điểm

✅ Kết luận:

a)

• Tứ giác ABHK nội tiếp
• AH·AC = AK·AD

b)

• KH // CF
• AD // CF
• PQ cắt nhau tại một điểm