chox,y,z>0 tm xy+yz+zx>/3 tim MIN P=x^3/y+1 +z^3/z+1 +z^3/x+1

giangcutoyeudunglove

Với $x, y, z > 0$ thỏa mãn $xy+yz+zx \geq 3$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{x^3}{y+1} + \frac{y^3}{z+1} + \frac{z^3}{x+1}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$P = \frac{x^3}{y+1} + \frac{y^3}{z+1} + \frac{z^3}{x+1} \ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x(y+1)+y(z+1)+z(x+1)}$

$P \ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{xy+yz+zx+x+y+z}$

Ta có $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx \geq 3$.

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \geq xy+yz+zx+2(xy+yz+zx) = 3(xy+yz+zx) \geq 3.3 = 9$.

Suy ra $x+y+z \ge 3$.

Áp dụng bất đẳng thức $x^2+y^2+z^2 \ge \frac{(x+y+z)^2}{3}$.

Suy ra $x^2+y^2+z^2 \ge \frac{(x+y+z)^2}{3}$.

Ta có $xy+yz+zx+x+y+z \le x^2+y^2+z^2+x+y+z$.

$P \ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2+x+y+z}$.

Áp dụng $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx \ge 3$.

$P \ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{xy+yz+zx+x+y+z}$

$P \ge \frac{(xy+yz+zx)^2}{xy+yz+zx+x+y+z}$

$P \ge \frac{9}{3+x+y+z}$.

Ta có $x+y+z \ge 3$, khi đó $P \ge \frac{9}{3+3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Holder:

$(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{z+1}+\frac{z^3}{x+1})(y+1+z+1+x+1)(1+1+1) \geq (x+y+z)^3$.

$3(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{z+1}+\frac{z^3}{x+1})(x+y+z+3) \geq (x+y+z)^3$.

$P = \frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{z+1}+\frac{z^3}{x+1} \geq \frac{(x+y+z)^3}{3(x+y+z+3)}$.

Đặt $t=x+y+z \geq 3$, khi đó $P \geq \frac{t^3}{3(t+3)}$.

Xét hàm $f(t) = \frac{t^3}{3(t+3)}$, ta có $f'(t) = \frac{3t^2.3(t+3)-t^3.3}{9(t+3)^2} = \frac{9t^3+27t^2-3t^3}{9(t+3)^2} = \frac{6t^3+27t^2}{9(t+3)^2} > 0$.

Vậy hàm $f(t)$ đồng biến khi $t \geq 3$.

$f(t) \geq f(3) = \frac{3^3}{3(3+3)} = \frac{27}{3.6} = \frac{27}{18} = \frac{3}{2}$.

Vậy $P \geq \frac{3}{2}$.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$.

$P = \frac{1^3}{1+1}+\frac{1^3}{1+1}+\frac{1^3}{1+1} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Vậy $Min P = \frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$.