Ai có thể viết lời giải chi tiết cách biến đối làm nào ra này đc k ạ
Gọi đường kính của nửa hình tròn là $x(m;0

Question

Ai có thể viết lời giải chi tiết cách biến đối làm nào ra này đc k ạ
 Gọi đường kính của nửa hình tròn là $x(m;0<x<8)$,Khi đó bán kính: $\frac x2(m)$,Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là $y(m;0<y<8)$,khi đó tổng độ dài của khuôn gỗ,$\frac{\pi x}2+x+2y=8$,$(\frac\pi2+1)x+2y=8$,$y=4-(\frac{\pi+2}4)x$,S cửa sổ $S=\frac12\pi.(\frac x2)^2+xy=\frac{\pi x^2}8+xy$,$\frac{\pi x^2}8+x[4-(\frac{\pi+2}4)x]$,$=-\frac{\pi+4}8(x-\frac{16}{\pi+4})^2+\frac{32}{\pi+4}\leq\frac{32}{\pi+4}$

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5061661,"userName":"Trần Vũ Lâm"}

Để biến đổi biểu thức $\frac{\pi x^2}{8} + x[4 - (\frac{\pi + 2}{4})x]$ thành $-\frac{\pi + 4}{8}(x - \frac{16}{\pi + 4})^2 + \frac{32}{\pi + 4}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Khai triển biểu thức ban đầu:

$\frac{\pi x^2}{8} + x[4 - (\frac{\pi + 2}{4})x] = \frac{\pi x^2}{8} + 4x - \frac{\pi + 2}{4}x^2$

2. Gom các số hạng chứa $x^2$:

$\frac{\pi x^2}{8} - \frac{\pi + 2}{4}x^2 + 4x = (\frac{\pi}{8} - \frac{\pi + 2}{4})x^2 + 4x$

$= (\frac{\pi}{8} - \frac{2(\pi + 2)}{8})x^2 + 4x = (\frac{\pi - 2\pi - 4}{8})x^2 + 4x$

$= \frac{-\pi - 4}{8}x^2 + 4x = -\frac{\pi + 4}{8}x^2 + 4x$

3. Hoàn thành bình phương:

Để hoàn thành bình phương, ta cần biến đổi $-\frac{\pi + 4}{8}x^2 + 4x$ thành dạng $a(x - h)^2 + k$.

$-\frac{\pi + 4}{8}x^2 + 4x = -\frac{\pi + 4}{8}(x^2 - \frac{32}{\pi + 4}x)$

Để hoàn thành bình phương cho $x^2 - \frac{32}{\pi + 4}x$, ta cần cộng và trừ $(\frac{16}{\pi + 4})^2$ trong ngoặc.

$-\frac{\pi + 4}{8}(x^2 - \frac{32}{\pi + 4}x + (\frac{16}{\pi + 4})^2 - (\frac{16}{\pi + 4})^2)$

$= -\frac{\pi + 4}{8}[(x - \frac{16}{\pi + 4})^2 - (\frac{16}{\pi + 4})^2]$

$= -\frac{\pi + 4}{8}(x - \frac{16}{\pi + 4})^2 + \frac{\pi + 4}{8}(\frac{16}{\pi + 4})^2$

$= -\frac{\pi + 4}{8}(x - \frac{16}{\pi + 4})^2 + \frac{\pi + 4}{8}\frac{256}{(\pi + 4)^2}$

$= -\frac{\pi + 4}{8}(x - \frac{16}{\pi + 4})^2 + \frac{32}{\pi + 4}$

Vậy, $\frac{\pi x^2}{8} + x[4 - (\frac{\pi + 2}{4})x] = -\frac{\pi + 4}{8}(x - \frac{16}{\pi + 4})^2 + \frac{32}{\pi + 4}$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước biến đổi như sau:

1. Gọi đường kính của nửa hình tròn là $ x $ (m; $ 0 < x < 8 $):
   - Khi đó bán kính của nửa hình tròn là $ \frac{x}{2} $ (m).

2. Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là $ y $ (m; $ 0 < y < 8 $):
   - Tổng độ dài của khuôn gỗ là $ \frac{\pi x}{2} + x + 2y = 8 $.

3. Biến đổi phương trình tổng độ dài của khuôn gỗ:
   $$
   \frac{\pi x}{2} + x + 2y = 8
   $$
   $$
   (\frac{\pi}{2} + 1)x + 2y = 8
   $$
   $$
   2y = 8 - (\frac{\pi}{2} + 1)x
   $$
   $$
   y = 4 - (\frac{\pi + 2}{4})x
   $$

4. Tính diện tích của cửa sổ:
   - Diện tích của nửa hình tròn là $ \frac{1}{2} \pi \left( \frac{x}{2} \right)^2 = \frac{\pi x^2}{8} $.
   - Diện tích của hình chữ nhật là $ xy $.

Vậy diện tích của cửa sổ là:
   $$
   S = \frac{\pi x^2}{8} + xy
   $$

5. Thay $ y $ vào biểu thức diện tích:
   $$
   S = \frac{\pi x^2}{8} + x \left[ 4 - \left( \frac{\pi + 2}{4} \right)x \right]
   $$
   $$
   S = \frac{\pi x^2}{8} + 4x - \left( \frac{\pi + 2}{4} \right)x^2
   $$
   $$
   S = \frac{\pi x^2}{8} + 4x - \frac{(\pi + 2)x^2}{4}
   $$
   $$
   S = \frac{\pi x^2}{8} + 4x - \frac{2(\pi + 2)x^2}{8}
   $$
   $$
   S = \frac{\pi x^2}{8} + 4x - \frac{(2\pi + 4)x^2}{8}
   $$
   $$
   S = \frac{\pi x^2 - (2\pi + 4)x^2}{8} + 4x
   $$
   $$
   S = \frac{-\pi x^2 - 4x^2}{8} + 4x
   $$
   $$
   S = -\frac{(\pi + 4)x^2}{8} + 4x
   $$

6. Biến đổi để tìm giá trị lớn nhất của $ S $:
   $$
   S = -\frac{(\pi + 4)}{8} x^2 + 4x
   $$
   $$
   S = -\frac{(\pi + 4)}{8} \left( x^2 - \frac{32}{\pi + 4} x \right)
   $$
   $$
   S = -\frac{(\pi + 4)}{8} \left( x^2 - \frac{32}{\pi + 4} x + \left( \frac{16}{\pi + 4} \right)^2 - \left( \frac{16}{\pi + 4} \right)^2 \right)
   $$
   $$
   S = -\frac{(\pi + 4)}{8} \left( \left( x - \frac{16}{\pi + 4} \right)^2 - \left( \frac{16}{\pi + 4} \right)^2 \right)
   $$
   $$
   S = -\frac{(\pi + 4)}{8} \left( x - \frac{16}{\pi + 4} \right)^2 + \frac{(\pi + 4)}{8} \left( \frac{16}{\pi + 4} \right)^2
   $$
   $$
   S = -\frac{(\pi + 4)}{8} \left( x - \frac{16}{\pi + 4} \right)^2 + \frac{32}{\pi + 4}
   $$

Vậy diện tích lớn nhất của cửa sổ là $ \frac{32}{\pi + 4} $ khi $ x = \frac{16}{\pi + 4} $.

ft. Hoàng · Answer

{"userId":5061661,"userName":"Trần Vũ Lâm"}

Chu vi khuôn gỗ bao gồm:

Nửa đường tròn: $\frac{\pi x}{2}$

Cạnh đáy hình chữ nhật: $x$

Hai cạnh bên hình chữ nhật: $2y$

Tổng chu vi: $\frac{\pi x}{2} + x + 2y = 8$

Rút gọn:

$\left(\frac{\pi}{2} + 1\right)x + 2y = 8$

Biểu diễn $y$ theo $x$:

$y = 4 - \left(\frac{\pi + 2}{4}\right)x$

Nửa hình tròn: $\frac{\pi x^2}{8}$

Hình chữ nhật: $xy$

Tổng diện tích:

$S = \frac{\pi x^2}{8} + xy$

Thay $y$ từ bước trên:

$S = \frac{\pi x^2}{8} + x\left[4 - \left(\frac{\pi + 2}{4}\right)x\right]$

$S = 4x - \left(\frac{\pi + 4}{8}\right)x^2$

$ S = -\frac{\pi + 4}{8}\left(x - \frac{16}{\pi + 4}\right)^2 + \frac{32}{\pi + 4}$

Biểu thức có dạng $S = -a(x - b)^2 + c$ với $a > 0$ nên đạt cực đại tại $x = b$:

$ S_{\text{max}} = \frac{32}{\pi + 4} \approx 4,48 \, m^2$

$x = \frac{16}{\pi + 4} \approx 2,24 \, m$