Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H a, Chứng minh tam giác BHF đồng dạng với tam giác CHE và góc FEH = góc HCB b,Gọi D là trung điểm BC. Trên tia đối tia DH lấy I sao cho DI=DH....

a) Ta có: - $\angle BHF = \angle CHE$ (hai góc đối đỉnh) - $\angle FBH = \angle ECH$ (cả hai góc này đều phụ với $\angle CBF$) Do đó, tam giác BHF đồng dạng với tam giác CHE theo trường hợp góc - góc (g-g). Từ đó ta có: $\frac{BH}{CH} = \frac{FH}{EH}$ Và do tam giác BHF đồng dạng với tam giác CHE, ta có: $\angle FEH = \angle HCB$ (góc tương ứng) b) Ta có: - D là trung điểm của BC nên BD = DC. - DI = DH (theo đề bài) Xét tam giác BHD và tam giác CID: - BD = DC (D là trung điểm của BC) - HD = ID (theo đề bài) - $\angle BHD = \angle CID$ (hai góc đối đỉnh) Do đó, tam giác BHD đồng dạng với tam giác CID theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c). Từ đó ta có: - BH = CI (cạnh tương ứng) - $\angle HBD = \angle ICD$ (góc tương ứng) Ta cần chứng minh AI vuông góc với EF. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng AI là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF. Xét tam giác EHF: - Ta đã chứng minh $\angle FEH = \angle HCB$ - Ta cũng có $\angle FHE = \angle CHB$ (hai góc đối đỉnh) Do đó, tam giác EHF đồng dạng với tam giác CHB theo trường hợp góc - góc (g-g). Từ đó ta có: - $\frac{EF}{CH} = \frac{HF}{HB}$ Vì tam giác BHD đồng dạng với tam giác CID, ta có: - $\frac{BD}{DC} = \frac{HD}{ID} = 1$ Do đó, tam giác EHF có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm D (trung điểm của BC). Vì DI = DH, nên điểm I nằm trên đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF. Do đó, AI là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF, và AI vuông góc với EF. Vậy ta đã chứng minh được: - Tam giác BHF đồng dạng với tam giác CHE và $\angle FEH = \angle HCB$ - BH = CI và AI vuông góc với EF.