cu e voi a

Câu 1. Trước tiên, chúng ta cần biết rằng trong tam giác vuông, sin của một góc là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với góc đó và độ dài cạnh huyền. Trong tam giác ABC với $\widehat{A} = 90^\circ$, cạnh huyền là BC (cạnh a), cạnh đối diện với góc B là AC (cạnh b), và cạnh đối diện với góc C là AB (cạnh c). Do đó: - $\sin B = \frac{\text{cạnh đối với góc B}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{b}{a}$ - $\sin C = \frac{\text{cạnh đối với góc C}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{c}{a}$ Vậy đáp án đúng là: B. $\sin B = \frac{b}{a}$ Đáp án: B. $\sin B = \frac{b}{a}$ Câu 2. Trong tam giác DEF vuông tại D, ta có các hệ thức lượng sau: - $\sin E = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{DF}{EF}$ - $\cos E = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{DE}{EF}$ - $\tan E = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{DF}{DE}$ - $\cot E = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{DE}{DF}$ Tương tự, ta cũng có các hệ thức lượng cho góc F: - $\sin F = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{DE}{EF}$ - $\cos F = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{DF}{EF}$ - $\tan F = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{DE}{DF}$ - $\cot F = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{DF}{DE}$ Do đó, ta thấy rằng: - $\cos E = \frac{DE}{EF}$ - $\cos F = \frac{DF}{EF}$ - $\tan E = \frac{DF}{DE}$ - $\cot F = \frac{DF}{DE}$ Như vậy, hệ thức đúng là: $B.~\cos F=\frac{DF}{EF}.$ Đáp án: B. $\cos F = \frac{DF}{EF}$. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để xem liệu chúng có đúng hay không. A. $\cot\alpha = -\cot(90^0 - \alpha)$ - Ta biết rằng $\cot(90^0 - \alpha) = \tan\alpha$. Do đó, $\cot\alpha = -\tan\alpha$ là sai vì $\cot\alpha$ và $\tan\alpha$ không phải là số âm của nhau. B. $\tan\alpha = \tan(90^0 - \alpha)$ - Ta biết rằng $\tan(90^0 - \alpha) = \cot\alpha$. Do đó, $\tan\alpha = \cot\alpha$ là sai vì $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$ không bằng nhau. C. $\sin\alpha = \cos(90^0 - \alpha)$ - Ta biết rằng $\cos(90^0 - \alpha) = \sin\alpha$. Do đó, $\sin\alpha = \sin\alpha$ là đúng. D. $\sin\alpha = \sin(90^0 - \alpha)$ - Ta biết rằng $\sin(90^0 - \alpha) = \cos\alpha$. Do đó, $\sin\alpha = \cos\alpha$ là sai vì $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ không bằng nhau. Vậy, trong các đẳng thức trên, chỉ có đẳng thức C là đúng. Đáp án: C. $\sin\alpha = \cos(90^0 - \alpha)$. Câu 4. Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: - Cạnh huyền là BC. - Cạnh kề với góc B là AB. - Cạnh đối với góc B là AC. Công thức tính cos của một góc trong tam giác vuông là: \[ \cos B = \frac{\text{cạnh kề với góc B}}{\text{cạnh huyền}} \] Áp dụng vào tam giác ABC, ta có: \[ \cos B = \frac{AB}{BC} \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ A.~\cos B=\frac{AB}{BC}. \] Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosin để tìm số đo của góc ABC. Theo Định lý Cosin: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 4^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\angle ABC) \] \[ 16 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\angle ABC) \] \[ 16 = 34 - 30 \cdot \cos(\angle ABC) \] \[ 30 \cdot \cos(\angle ABC) = 34 - 16 \] \[ 30 \cdot \cos(\angle ABC) = 18 \] \[ \cos(\angle ABC) = \frac{18}{30} \] \[ \cos(\angle ABC) = \frac{3}{5} \] Bây giờ, chúng ta cần tìm góc có giá trị cosin là $\frac{3}{5}$. Sử dụng máy tính để tìm góc: \[ \angle ABC = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 53^\circ 7' \] Vậy số đo của góc ABC là $53^\circ 7'$. Đáp án đúng là: $A.~53^07^\prime.$ Câu 6. Ta biết rằng trong tam giác vuông, tổng bình phương của sin và cos của cùng một góc bằng 1. Do đó, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay giá trị của \(\sin \alpha\) vào: \[ \left( \frac{4}{5} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] Tính bình phương của \(\frac{4}{5}\): \[ \frac{16}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] Chuyển \(\frac{16}{25}\) sang phía bên phải: \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} \] Quy đồng phân số: \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\cos \alpha = \frac{3}{5} \] Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định góc B: - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên tổng các góc trong tam giác là 180°. - Ta có $\widehat{A} = 90^\circ$ và $\widehat{C} = 60^\circ$, do đó $\widehat{B} = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 2. Áp dụng tỉ số lượng giác: - Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc 30° và 60° là: - $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ - $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 3. Tìm độ dài cạnh AC: - Trong tam giác ABC, $\widehat{B} = 30^\circ$, do đó ta có: - $\cos(30^\circ) = \frac{AC}{AB}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{30}$ - $AC = 30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ Vậy độ dài cạnh AC là $15\sqrt{3}~cm$. Đáp án đúng là D. Câu 8. Để tính các tỉ số lượng giác của góc B trong tam giác ABC vuông tại C, ta làm như sau: 1. Tính độ dài cạnh huyền AB: Áp dụng định lý Pythagoras: \[ AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{(1,2)^2 + (0,9)^2} = \sqrt{1,44 + 0,81} = \sqrt{2,25} = 1,5 \text{ cm} \] 2. Tính sin B và cos B: - sin B là tỉ số giữa cạnh đối với góc B và cạnh huyền: \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{0,9}{1,5} = 0,6 \] - cos B là tỉ số giữa cạnh kề với góc B và cạnh huyền: \[ \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1,2}{1,5} = 0,8 \] Vậy các tỉ số lượng giác của góc B là: \[ \sin B = 0,6 \quad \text{và} \quad \cos B = 0,8 \] Đáp án đúng là: \[ A.~\sin B=0,6;\cos B=0,8. \] Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài cạnh BC: - Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC: \[ BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ BC = \sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74} \text{ cm} \] 2. Tính góc C: - Ta sử dụng công thức tính tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông: \[ \sin C = \frac{\text{đối}}{\text{hypotenuse}} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{\sqrt{74}} \] - Để tìm góc C, ta sử dụng máy tính để tính giá trị của góc: \[ \widehat{C} \approx \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{74}}\right) \approx 35^\circ 32' \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~BC=\sqrt{74}~cm,~\widehat C\approx35^032^\prime. \] Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định các thông tin đã biết: - Độ dốc của cầu trượt là $28^\circ$. - Độ cao của cầu trượt là 2,1 m. 2. Xác định các đại lượng cần tìm: - Độ dài của mặt cầu trượt (gọi là \( l \)). 3. Áp dụng tỉ số lượng giác: - Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc \( \theta \) giữa cạnh đối diện và cạnh huyền là \( \sin \theta \). 4. Viết phương trình dựa trên tỉ số lượng giác: \[ \sin(28^\circ) = \frac{\text{độ cao}}{\text{độ dài mặt cầu trượt}} \] \[ \sin(28^\circ) = \frac{2,1}{l} \] 5. Tìm giá trị của \( \sin(28^\circ) \): - Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính để tìm giá trị của \( \sin(28^\circ) \): \[ \sin(28^\circ) \approx 0,4695 \] 6. Thay giá trị vào phương trình và giải phương trình: \[ 0,4695 = \frac{2,1}{l} \] \[ l = \frac{2,1}{0,4695} \approx 4,47 \text{ m} \] 7. Kết luận: Độ dài của mặt cầu trượt là 4,47 m. Đáp án đúng là: B. 4,47 m. Câu 11. Để tính diện tích của tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính diện tích dựa trên hai cạnh và sin của góc giữa chúng: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{A}) \] Trong đó: - \( AB = 10 \, cm \) - \( AC = 18 \, cm \) - \( \widehat{A} = 30^\circ \) Biết rằng \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), ta thay vào công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 10 \times 18 \times \frac{1}{2} \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 10 \times 18 \times \frac{1}{2} \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 10 \times 9 \] \[ S_{ABC} = 5 \times 9 \] \[ S_{ABC} = 45 \, cm^2 \] Vậy diện tích của tam giác ABC là 45 cm².