Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

deptraisay3

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp:

Ta có $\widehat{BEC} = 90^{\circ}$ (do $BE \perp AC$) và $\widehat{BFC} = 90^{\circ}$ (do $CF \perp AB$).

Xét tứ giác $BFEC$, ta có $\widehat{BEC} + \widehat{BFC} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.

Do đó, tứ giác $BFEC$ nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{\circ}$).

b) Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ và đường thẳng $OA \perp EF$:

*  Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$:

Ta có $\widehat{AFE} = \widehat{ABC}$ (cùng bù với góc $\widehat{EFC}$ trong tứ giác nội tiếp $BFEC$).

Và $\widehat{AEF} = \widehat{ACB}$ (cùng bù với góc $\widehat{BEF}$ trong tứ giác nội tiếp $BFEC$).

Suy ra $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ (g.g).

*  Chứng minh $OA \perp EF$:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $K$ là trung điểm của $BC$, suy ra $M \equiv K$.

Trong tam giác vuông $BEC$, $K$ là trung điểm của $BC$ nên $KE = KB = KC$.

Tương tự, trong tam giác vuông $BFC$, $K$ là trung điểm của $BC$ nên $KF = KB = KC$.

Suy ra $KE = KF = KB = KC$, do đó $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$.

Do đó $KB = KE = KF$.

Ta có $OA$ là đường trung trực của $EF$ (do $O$ cách đều $E, F$).

Vậy $OA \perp EF$.

c) Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp và ba điểm $I, J, K$ thẳng hàng:

*  Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp:

Ta có $\widehat{AFH} = 180^{\circ} - \widehat{CFB} = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Và $\widehat{AEH} = 180^{\circ} - \widehat{BEC} = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Suy ra $\widehat{AFH} = \widehat{AEH} = 90^{\circ}$.

Trong tứ giác $AFHE$, ta có $\widehat{AFH} + \widehat{AEH} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.

Do đó tứ giác $AFHE$ nội tiếp.

Do đó $\widehat{FAH} = \widehat{FEH}$.

Ta có $\widehat{FHB} = 180^{\circ} - \widehat{BHC} = 180^{\circ} - \widehat{EAC}$.

Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ và $J$ là trung điểm của $AH$.

Vì $AFHE$ nội tiếp nên $\widehat{FEH} = \widehat{FAH}$.

Ta có $\widehat{FAH} = \widehat{FEH}$.

Xét tứ giác $AFHI$, ta có $\widehat{FAI} + \widehat{FHI} = \widehat{FAH} + \widehat{FHI} = \widehat{FEH} + \widehat{FHI}$.

Vì $AFHE$ nội tiếp nên $\widehat{FHI} = \widehat{FEA}$.

Ta có $\widehat{FHI} = 90^{\circ}$.

Do đó $\widehat{AFH} = 90^{\circ}$.

Suy ra $\widehat{AFH} + \widehat{AIH} = 180^{\circ}$.

Vậy tứ giác $AFHI$ nội tiếp.

*  Chứng minh $I, J, K$ thẳng hàng:

Ta có tứ giác $AFHE$ nội tiếp.

Gọi $O_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFH$.

Vì $AFHE$ nội tiếp nên $J$ là trung điểm của $AH$.

$I$ là trung điểm của $MN$, $K$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $K$ là trung điểm của $BC$, $I$ là trung điểm của $MN$, $J$ là trung điểm của $AH$.

Trong tam giác $AHC$, $J$ là trung điểm của $AH$, $K$ là trung điểm của $BC$.

Xét tứ giác nội tiếp $BFEC$. Vì $K$ là trung điểm của $BC$ nên $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$.

Vì $I$ là trung điểm $MN$, $J$ là trung điểm $AH$.

Theo tính chất đường thẳng Euler trong tam giác, ta có:

$I, J, K$ thẳng hàng.