Giải hộ vs

Câu 2: a) Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P): \[ 4 \cdot 0 - 1 + 2 \cdot (-6) + 13 = 0 - 1 - 12 + 13 = 0 \] Vậy điểm B thuộc mặt phẳng (P). b) Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0-1, 1-2, -6-3) = (-1, -1, -9) \] Vectơ $\overrightarrow{v}$ là: \[ \overrightarrow{v} = (-2, -2, -18) \] Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương vì: \[ \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{v} \] Vận tốc của viên đạn là 800 m/s, tức là 0.8 km/s. Thời gian để viên đạn đi từ A đến B là: \[ t = \frac{\text{Khoảng cách từ A đến B}}{\text{Vận tốc}} \] Khoảng cách từ A đến B là: \[ |AB| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 1 + 81} = \sqrt{83} \text{ km} \] Thời gian để viên đạn đi từ A đến B là: \[ t = \frac{\sqrt{83}}{0.8} \approx 9.6 \text{ giây} \] Sau một phút (60 giây), viên đạn đã đi được: \[ 60 \times 0.8 = 48 \text{ km} \] Vì khoảng cách từ A đến B chỉ là $\sqrt{83} \approx 9.2 \text{ km}$, nên sau một phút viên đạn đã đi qua điểm B. c) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: \[ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{n}|} \] Trong đó, $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), $\overrightarrow{n} = (4, -1, 2)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}$ là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = (-1) \cdot 4 + (-1) \cdot (-1) + (-9) \cdot 2 = -4 + 1 - 18 = -21 \] Tính độ dài của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{n}$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{83} \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \] Do đó: \[ \sin \theta = \frac{|-21|}{\sqrt{83} \cdot \sqrt{21}} = \frac{21}{\sqrt{83} \cdot \sqrt{21}} = \frac{21}{\sqrt{1743}} \approx 0.866 \] Vậy: \[ \theta = \arcsin(0.866) \approx 60^\circ \] d) Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oxy) là H(0, 2, 3). Vì tọa độ z của A là 3, hình chiếu vuông góc của A trên (Oxy) sẽ có tọa độ z = 0, do đó H(0, 2, 0). Đáp án: a) Điểm B thuộc mặt phẳng (P). b) Sau một phút viên đạn đã đi qua điểm B. c) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là $60^\circ$. d) Hình chiếu vuông góc của A trên (Oxy) là H(0, 2, 0). Câu 1: Để tính \(2R^2 + 1\), trước tiên chúng ta cần tìm bán kính \(R\) của mặt cầu (S) có tâm tại điểm \(A(2;3;5)\) và đi qua điểm \(B(0;1;-1)\). Bán kính \(R\) của mặt cầu là khoảng cách từ tâm \(A\) đến điểm \(B\). Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để tính \(R\): \[ R = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] Thay tọa độ của \(A\) và \(B\) vào công thức: \[ R = \sqrt{(0 - 2)^2 + (1 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} \] \[ R = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} \] \[ R = \sqrt{4 + 4 + 36} \] \[ R = \sqrt{44} \] \[ R = 2\sqrt{11} \] Bây giờ, ta tính \(2R^2 + 1\): \[ R^2 = (2\sqrt{11})^2 = 4 \times 11 = 44 \] Do đó, \[ 2R^2 + 1 = 2 \times 44 + 1 = 88 + 1 = 89 \] Vậy, \(2R^2 + 1 = 89\). Đáp số: 89. Câu 2: Để tìm đường thẳng qua điểm \( A(2;1;2) \) và song song với đoạn thẳng \( BC \), ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Vectơ chỉ phương của đường thẳng này sẽ giống với vectơ \( \overrightarrow{BC} \). Bước 1: Tìm vectơ \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-1); -2 - 0; -3 - (-2)) = (4; -2; -1) \] Bước 2: Xác định các thành phần của vectơ chỉ phương: \[ \overrightarrow{d} = (a; b; 1) \] Ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng phải song song với \( \overrightarrow{BC} \), do đó: \[ (a; b; 1) = k \cdot (4; -2; -1) \] Trong đó \( k \) là một hằng số thực. Bước 3: So sánh các thành phần tương ứng: \[ a = 4k, \quad b = -2k, \quad 1 = -k \] Từ \( 1 = -k \), ta có: \[ k = -1 \] Bước 4: Thay \( k = -1 \) vào các biểu thức của \( a \) và \( b \): \[ a = 4 \cdot (-1) = -4 \] \[ b = -2 \cdot (-1) = 2 \] Bước 5: Tính \( P = 2a + b \): \[ P = 2 \cdot (-4) + 2 = -8 + 2 = -6 \] Vậy, giá trị của \( P \) là: \[ \boxed{-6} \] Câu 3: Để tính $P(\overline A\setminus B)$, ta cần biết xác suất của các biến cố liên quan. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định $P(A \cap B)$ đã cho là 0,2. 2. Xác định $P(B)$ đã cho là 0,5. 3. Biến cố $\overline A \setminus B$ là biến cố xảy ra khi B xảy ra nhưng A không xảy ra. Do đó, ta có: \[ P(\overline A \setminus B) = P(B) - P(A \cap B) \] Thay các giá trị vào công thức trên: \[ P(\overline A \setminus B) = 0,5 - 0,2 = 0,3 \] Vậy, xác suất của biến cố $\overline A \setminus B$ là 0,3. Đáp số: $P(\overline A \setminus B) = 0,3$.