Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA, kẻ dây CD của đường tròn tâm O vuông góc với AB tại 1. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC ( M khác B và C), gọi H là giao điểm của AM và...

lồn

a) Chứng minh tứ giác $BMHI$ nội tiếp được đường tròn.

Ta có $CD \perp AB$ tại $I$ nên $\widehat{AIB} = 90^\circ$.

$\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{AMB} = 90^\circ$.

Xét tứ giác $BMHI$ có $\widehat{AIB} = \widehat{AMB} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat{BHI} = 90^\circ$ và $\widehat{BMI} = 90^\circ$.

Vậy tứ giác $BMHI$ có $\widehat{BHI} + \widehat{BMI} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Vậy tứ giác $BMHI$ nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh $AC^2 = AH.AM$

Ta có $I$ là trung điểm của $OA$ nên $OI = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}R$.

$OA = OC = R$ nên $AI = OA + OI = R + \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R$.

Xét $\triangle AIC$ vuông tại $I$ có:

$AC^2 = AI^2 + IC^2 = (\frac{3}{2}R)^2 + R^2 = \frac{9}{4}R^2 + R^2 = \frac{13}{4}R^2$.

Ta có $\widehat{ACM} = \widehat{ACB}$ (vì $M$ thuộc cung $BC$).

$CD \perp AB$ tại $I$ nên $\widehat{AIC} = 90^\circ$.

Xét $\triangle ACI$ và $\triangle AMC$ có:

$\widehat{IAC}$ chung.

$\widehat{AIC} = \widehat{AMC} = 90^\circ$.

Vậy $\triangle ACI \sim \triangle AMC$ (g.g)

Suy ra $\frac{AC}{AM} = \frac{AI}{AC}$

Do đó $AC^2 = AI.AM$.

Vậy $AC^2 = AH.AM$

c) Tìm vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ sao cho $MB + MC$ lớn nhất.

Gọi $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua $AB$, suy ra $E \in (O)$.

Khi đó $MB + MC = MB + ME \le BE$.

Dấu bằng xảy ra khi $M$, $B$, $E$ thẳng hàng.

Khi đó $MB + MC$ lớn nhất khi $M$ là giao điểm của cung nhỏ $BC$ và đoạn thẳng $BE$.

$M$ là điểm chính giữa cung $BC$, hay $OM$ là phân giác $\widehat{BOC}$.

Vậy $MB + MC$ lớn nhất khi $M$ là điểm chính giữa cung $BC$.