giúp mịn với

Câu 2: Để tìm tâm của đường tròn $(C)$, ta viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương: \[ 2x^2 + 2y^2 - 8x + 12y - 2024 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2: \[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 1012 = 0 \] Tiếp theo, ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$: \[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 1012 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 1012 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 1025 \] Từ đây, ta thấy tâm của đường tròn là $I(2, -3)$. Bây giờ, ta tính giá trị biểu thức $M = 2a^2 + b^2$: \[ M = 2(2)^2 + (-3)^2 \] \[ M = 2 \cdot 4 + 9 \] \[ M = 8 + 9 \] \[ M = 17 \] Đáp số: $M = 17$ Câu 3: Để tìm giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 3x - 4y = 17 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 3 và nhân phương trình thứ hai với 2: \[ \begin{cases} 6x + 9y = 0 \\ 6x - 8y = 34 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ 17y = -34 \] \[ y = -2 \] Thay $y = -2$ vào phương trình $2x + 3y = 0$: \[ 2x + 3(-2) = 0 \] \[ 2x - 6 = 0 \] \[ 2x = 6 \] \[ x = 3 \] Vậy giao điểm của hai đường thẳng là $M(3, -2)$. Bây giờ, ta tính giá trị biểu thức $P = 2(a^2 + b^2)$: \[ P = 2(3^2 + (-2)^2) \] \[ P = 2(9 + 4) \] \[ P = 2 \cdot 13 \] \[ P = 26 \] Đáp số: $P = 26$ Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một để tìm ra số lượng các số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau có thể tạo ra từ các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bước 1: Xác định các trường hợp cho chữ số cuối cùng (chữ số hàng đơn vị) Một số chẵn có chữ số hàng đơn vị là một trong các số chẵn: 0, 2, 4, 6. Bước 2: Xét từng trường hợp cụ thể Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là 0 - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ 0 (vì số phải có 3 chữ số): 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 lựa chọn). - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số đã chọn cho hàng trăm và 0: 5 lựa chọn. Số lượng các số chẵn trong trường hợp này: \[ 6 \times 5 = 30 \] Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị là 2 - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ 0 và 2: 1, 3, 4, 5, 6 (5 lựa chọn). - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số đã chọn cho hàng trăm và 2: 5 lựa chọn. Số lượng các số chẵn trong trường hợp này: \[ 5 \times 5 = 25 \] Trường hợp 3: Chữ số hàng đơn vị là 4 - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ 0 và 4: 1, 2, 3, 5, 6 (5 lựa chọn). - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số đã chọn cho hàng trăm và 4: 5 lựa chọn. Số lượng các số chẵn trong trường hợp này: \[ 5 \times 5 = 25 \] Trường hợp 4: Chữ số hàng đơn vị là 6 - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ 0 và 6: 1, 2, 3, 4, 5 (5 lựa chọn). - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số đã chọn cho hàng trăm và 6: 5 lựa chọn. Số lượng các số chẵn trong trường hợp này: \[ 5 \times 5 = 25 \] Bước 3: Tính tổng số lượng các số chẵn Tổng số lượng các số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau: \[ 30 + 25 + 25 + 25 = 105 \] Kết luận Từ các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể tạo ra 105 số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau. Câu 2: Để giải bài toán xác suất này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tổng số cách chọn 3 quả cầu từ 17 quả cầu Số cách chọn 3 quả cầu từ 17 quả cầu là: \[ C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 680 \] Bước 2: Xác định các trường hợp có thể xảy ra Trường hợp 1: Tổng 3 số là số lẻ Tổng của 3 số là số lẻ nếu trong 3 số đó có 1 số lẻ và 2 số chẵn hoặc 3 số đều là số lẻ. - Số cách chọn 1 số lẻ từ 9 số lẻ và 2 số chẵn từ 8 số chẵn: \[ C_9^1 \times C_8^2 = 9 \times \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 9 \times 28 = 252 \] - Số cách chọn 3 số lẻ từ 9 số lẻ: \[ C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \] Tổng số cách chọn 3 số sao cho tổng là số lẻ: \[ 252 + 84 = 336 \] Trường hợp 2: Tổng 3 số là số chẵn Tổng của 3 số là số chẵn nếu trong 3 số đó có 2 số lẻ và 1 số chẵn hoặc 3 số đều là số chẵn. - Số cách chọn 2 số lẻ từ 9 số lẻ và 1 số chẵn từ 8 số chẵn: \[ C_9^2 \times C_8^1 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} \times 8 = 36 \times 8 = 288 \] - Số cách chọn 3 số chẵn từ 8 số chẵn: \[ C_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] Tổng số cách chọn 3 số sao cho tổng là số chẵn: \[ 288 + 56 = 344 \] Bước 3: Tính xác suất a. Xác suất để tổng 3 số được chọn là một số lẻ \[ P(\text{Tổng là số lẻ}) = \frac{\text{Số cách chọn 3 số sao cho tổng là số lẻ}}{\text{Tổng số cách chọn 3 số}} = \frac{336}{680} = \frac{42}{85} \] b. Xác suất để tổng 3 số được chọn là một số chẵn \[ P(\text{Tổng là số chẵn}) = \frac{\text{Số cách chọn 3 số sao cho tổng là số chẵn}}{\text{Tổng số cách chọn 3 số}} = \frac{344}{680} = \frac{43}{85} \] Đáp số a. Xác suất để tổng 3 số được chọn là một số lẻ là $\frac{42}{85}$. b. Xác suất để tổng 3 số được chọn là một số chẵn là $\frac{43}{85}$. Câu 3: a. Viết phương trình đường trung tuyến AM: - Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng BC: \[ M = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = (3, 1) \] - Tìm vectơ \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = (3 - (-3), 1 - 2) = (6, -1) \] - Phương trình đường thẳng AM đi qua điểm A(-3, 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (6, -1)\): \[ 6(x + 3) - 1(y - 2) = 0 \] \[ 6x + 18 - y + 2 = 0 \] \[ 6x - y + 20 = 0 \] b. Tính độ dài đoạn thẳng AB: - Thay phương trình đường thẳng \( \left\{\begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = -3 + 2t \end{array}\right. \) vào phương trình đường tròn \((x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 25\): \[ ((2 - t) - 2)^2 + ((-3 + 2t) + 4)^2 = 25 \] \[ (-t)^2 + (1 + 2t)^2 = 25 \] \[ t^2 + (1 + 2t)^2 = 25 \] \[ t^2 + 1 + 4t + 4t^2 = 25 \] \[ 5t^2 + 4t + 1 = 25 \] \[ 5t^2 + 4t - 24 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 480}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{496}}{10} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{31}}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{31}}{5} \] - Tọa độ giao điểm A và B: \[ t_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{31}}{5} \Rightarrow x_1 = 2 - \frac{-2 + 2\sqrt{31}}{5} = \frac{12 - 2\sqrt{31}}{5} \] \[ y_1 = -3 + 2 \cdot \frac{-2 + 2\sqrt{31}}{5} = \frac{-11 + 4\sqrt{31}}{5} \] \[ t_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{31}}{5} \Rightarrow x_2 = 2 - \frac{-2 - 2\sqrt{31}}{5} = \frac{12 + 2\sqrt{31}}{5} \] \[ y_2 = -3 + 2 \cdot \frac{-2 - 2\sqrt{31}}{5} = \frac{-11 - 4\sqrt{31}}{5} \] - Độ dài đoạn thẳng AB: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] \[ AB = \sqrt{\left( \frac{12 + 2\sqrt{31}}{5} - \frac{12 - 2\sqrt{31}}{5} \right)^2 + \left( \frac{-11 - 4\sqrt{31}}{5} - \frac{-11 + 4\sqrt{31}}{5} \right)^2} \] \[ AB = \sqrt{\left( \frac{4\sqrt{31}}{5} \right)^2 + \left( \frac{-8\sqrt{31}}{5} \right)^2} \] \[ AB = \sqrt{\frac{16 \cdot 31}{25} + \frac{64 \cdot 31}{25}} \] \[ AB = \sqrt{\frac{80 \cdot 31}{25}} \] \[ AB = \sqrt{\frac{2480}{25}} \] \[ AB = \frac{\sqrt{2480}}{5} \] \[ AB = \frac{4\sqrt{155}}{5} \] Đáp số: a. Phương trình đường trung tuyến AM: \(6x - y + 20 = 0\) b. Độ dài đoạn thẳng AB: \(\frac{4\sqrt{155}}{5}\)