giải giúp em

Câu 1. Ta có: $f(x)=-2x^2+8x-8$ $=-2(x^2-4x+4)$ $=-2(x-2)^2$ Vì $(x-2)^2\geq0$ với mọi $x\in\mathbb R$ nên $-2(x-2)^2\leq0$ với mọi $x\in\mathbb R.$ Hay $f(x)\leq0$ với mọi $x\in\mathbb R.$ Chọn C Câu 2. Để xác định véctơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: 2x + 3y - 4 = 0\), ta cần tìm véctơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của \(x\) và \(y\) trong phương trình đường thẳng. Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \[ 2x + 3y - 4 = 0 \] Từ phương trình này, ta thấy rằng các hệ số của \(x\) và \(y\) lần lượt là 2 và 3. Do đó, véctơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng: \[ \overrightarrow{n} = (2, 3) \] Vậy, trong các lựa chọn đã cho, véctơ pháp tuyến đúng là: \[ \textcircled{C.}~\overrightarrow{n_1} = (2, 3) \] Đáp án: C. \(\overrightarrow{n_1} = (2, 3)\) Câu 3. Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm $M(-2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;-4)$ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 3t \\ y = 3 - 4t \end{array} \right. \] Trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án đúng là: \[ \textcircled{D}. \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 3t \\ y = 3 - 4t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là D. Câu 4. Khi gieo một đồng xu liên tiếp 2 lần, mỗi lần gieo có thể xuất hiện hai kết quả: mặt ngửa (H) hoặc mặt sấp (T). Ta sẽ liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra khi gieo đồng xu 2 lần: 1. Kết quả đầu tiên là H và kết quả thứ hai là H: (H, H) 2. Kết quả đầu tiên là H và kết quả thứ hai là T: (H, T) 3. Kết quả đầu tiên là T và kết quả thứ hai là H: (T, H) 4. Kết quả đầu tiên là T và kết quả thứ hai là T: (T, T) Như vậy, không gian mẫu $\Omega$ bao gồm các phần tử sau: \[ \Omega = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\} \] Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ là 4. Vậy đáp án đúng là B. 4. Câu 5. Ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển $(3x - 1)^4$. Theo công thức nhị thức Newton, ta có: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, $a = 3x$, $b = -1$, và $n = 4$. Do đó, khai triển của $(3x - 1)^4$ sẽ có dạng: \[ (3x - 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (3x)^{4-k} (-1)^k \] Ta sẽ tính từng số hạng: 1. Khi $k = 0$: $\binom{4}{0} (3x)^{4-0} (-1)^0 = 1 \cdot (3x)^4 \cdot 1 = 81x^4$ 2. Khi $k = 1$: $\binom{4}{1} (3x)^{4-1} (-1)^1 = 4 \cdot (3x)^3 \cdot (-1) = -108x^3$ 3. Khi $k = 2$: $\binom{4}{2} (3x)^{4-2} (-1)^2 = 6 \cdot (3x)^2 \cdot 1 = 54x^2$ 4. Khi $k = 3$: $\binom{4}{3} (3x)^{4-3} (-1)^3 = 4 \cdot (3x)^1 \cdot (-1) = -12x$ 5. Khi $k = 4$: $\binom{4}{4} (3x)^{4-4} (-1)^4 = 1 \cdot (3x)^0 \cdot 1 = 1$ Như vậy, khai triển của $(3x - 1)^4$ là: \[ (3x - 1)^4 = 81x^4 - 108x^3 + 54x^2 - 12x + 1 \] Ta thấy rằng khai triển này có 5 số hạng. Vậy đáp án đúng là: A. 5. Câu 6. Để giải phương trình $\sqrt{x-1}=x-3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức $\sqrt{x-1}$ có nghĩa khi $x-1 \geq 0$, tức là $x \geq 1$. - Biểu thức $x-3$ phải lớn hơn hoặc bằng 0 vì căn bậc hai phải lớn hơn hoặc bằng 0, tức là $x-3 \geq 0$, suy ra $x \geq 3$. - Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \geq 3$. 2. Giải phương trình: - Ta bình phương cả hai vế của phương trình: \[ (\sqrt{x-1})^2 = (x-3)^2 \] \[ x-1 = (x-3)^2 \] - Rút gọn và biến đổi phương trình thành dạng bậc hai: \[ x-1 = x^2 - 6x + 9 \] \[ x^2 - 7x + 10 = 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai: - Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -7$, $c = 10$. Thay vào công thức: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{7 \pm 3}{2} \] - Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2 \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - Nghiệm $x = 5$ thỏa mãn điều kiện $x \geq 3$. - Nghiệm $x = 2$ không thỏa mãn điều kiện $x \geq 3$. 5. Kết luận: - Phương trình $\sqrt{x-1}=x-3$ có nghiệm duy nhất là $x = 5$. Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{5\}$. Đáp án đúng là: $C.~S=\{5\}.$ Câu 7. Để tìm đường thẳng song song với đường thẳng \(d: x - 2y - 1 = 0\), ta cần tìm đường thẳng có cùng hệ số góc với đường thẳng \(d\). Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(x - 2y - 1 = 0\). Ta viết lại phương trình này dưới dạng \(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\). Từ đó, ta thấy hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(\frac{1}{2}\). Bây giờ, ta kiểm tra từng phương án để tìm đường thẳng có cùng hệ số góc \(\frac{1}{2}\): A. \(-x + 2y + 1 = 0\) Ta viết lại phương trình này dưới dạng \(2y = x - 1\) hoặc \(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\). Hệ số góc là \(\frac{1}{2}\). B. \(2x - y = 0\) Ta viết lại phương trình này dưới dạng \(y = 2x\). Hệ số góc là 2. C. \(x + 2y + 1 = 0\) Ta viết lại phương trình này dưới dạng \(2y = -x - 1\) hoặc \(y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\). Hệ số góc là \(-\frac{1}{2}\). D. \(-2x + 4y - 1 = 0\) Ta viết lại phương trình này dưới dạng \(4y = 2x + 1\) hoặc \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\). Hệ số góc là \(\frac{1}{2}\). Như vậy, các phương án A và D đều có cùng hệ số góc \(\frac{1}{2}\) với đường thẳng \(d\). Tuy nhiên, trong các phương án đã cho, chỉ có phương án D là đúng. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D. -2x + 4y - 1 = 0} \] Câu 8. Khi gieo một con súc sắc, ta có 6 kết quả có thể xảy ra: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó, các mặt có số chấm chẵn là: 2, 4, 6. Số lượng các kết quả có thể xảy ra là 6. Số lượng các kết quả mong muốn (mặt có số chấm chẵn) là 3. Xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là: \[ P = \frac{\text{Số lượng kết quả mong muốn}}{\text{Số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 \] Vậy đáp án đúng là A. 0,5. Câu 9. Để xác định tập hợp các giá trị của \( x \) sao cho đa thức \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) không dương, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \): \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \] Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình này: \[ x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0 \] Do đó, các nghiệm của phương trình là: \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] 2. Xác định dấu của \( f(x) \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm: - Khi \( x < 2 \): Chọn \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8 > 0 \] - Khi \( 2 < x < 4 \): Chọn \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 < 0 \] - Khi \( x > 4 \): Chọn \( x = 5 \): \[ f(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 > 0 \] 3. Xác định các khoảng mà \( f(x) \leq 0 \): Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \( f(x) \) không dương trong khoảng \( [2, 4] \). Do đó, đa thức \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) không dương khi \( x \) thuộc đoạn \( [2, 4] \). Đáp án đúng là: B. [2;4] Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc nhân trong tổ hợp. - Người đó có 4 cái quần, vậy có 4 cách chọn quần. - Người đó có 6 cái áo, vậy có 6 cách chọn áo. Khi chọn mỗi thứ một món (một cái quần và một cái áo), tổng số cách chọn bộ áo quần khác nhau sẽ là: Số cách chọn quần nhân với số cách chọn áo: \[ 4 \times 6 = 24 \] Vậy, có 24 cách chọn bộ áo quần khác nhau. Đáp án đúng là: D. 24. Câu 11. Phương trình elip đã cho là $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$. Ta nhận thấy đây là dạng chuẩn của phương trình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a^2 = 4$ và $b^2 = 1$. Do đó, ta có $a = 2$ và $b = 1$. Trong elip, khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là $c$, được tính theo công thức $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức này, ta có: \[ c = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \] Vậy tọa độ của hai tiêu điểm của elip là $(\pm \sqrt{3}, 0)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{A}.~A(\sqrt{3};0) \] Câu 12. Để xác định phương trình của đường tròn trong các phương trình đã cho, ta cần kiểm tra xem phương trình nào có dạng chuẩn của phương trình đường tròn, tức là \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \). Cụ thể, ta sẽ kiểm tra từng phương trình: 1. Phương trình \( A.~4x^2 + y^2 - 10x - 6y - 2 = 0 \): - Ta thấy rằng hệ số của \( x^2 \) là 4, không phải là 1, do đó phương trình này không phải là phương trình của đường tròn. 2. Phương trình \( B.~x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 1 = 0 \): - Ta thấy rằng hệ số của \( y^2 \) là 2, không phải là 1, do đó phương trình này cũng không phải là phương trình của đường tròn. 3. Phương trình \( n.~x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \): - Ta thấy rằng hệ số của \( x^2 \) và \( y^2 \) đều là 1, do đó phương trình này có thể là phương trình của đường tròn. Ta sẽ hoàn thành bình phương để kiểm tra: \[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \] \[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12 \] \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] Đây đúng là phương trình của đường tròn với tâm \( (2, -3) \) và bán kính \( 5 \). Vậy phương trình của đường tròn là \( n.~x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \).