Giải bài tập

Câu 28. Để chọn 5 học sinh trong đó có 2 học sinh nam từ tổ có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Chọn 2 học sinh nam từ 6 học sinh nam: - Số cách chọn 2 học sinh nam từ 6 học sinh nam là: \[ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] 2. Chọn 3 học sinh nữ từ 9 học sinh nữ: - Số cách chọn 3 học sinh nữ từ 9 học sinh nữ là: \[ C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \] 3. Tính tổng số cách chọn 5 học sinh trong đó có 2 học sinh nam: - Tổng số cách chọn 5 học sinh trong đó có 2 học sinh nam là: \[ 15 \times 84 = 1260 \] Vậy số cách chọn 5 học sinh đi lao động trong đó có 2 học sinh nam là 1260. Câu 29. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tính số cách chọn và sắp xếp. Bước 1: Chọn 1 học sinh nam làm lớp trưởng: - Có 20 học sinh nam, nên có 20 cách chọn. Bước 2: Chọn 1 học sinh nữ làm lớp phó: - Có 18 học sinh nữ, nên có 18 cách chọn. Bước 3: Kết hợp các cách chọn: - Mỗi cách chọn lớp trưởng có thể kết hợp với mỗi cách chọn lớp phó, do đó tổng số cách chọn là: \[ 20 \times 18 = 360 \] Vậy, có tất cả 360 cách để chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó từ nhóm học sinh này. Đáp số: 360 cách. Câu 30. Để tìm bán kính của đường tròn tâm \( I(2; -3) \) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: 3x - 4y + 2 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách từ điểm \( I(2; -3) \) đến đường thẳng \(\Delta: 3x - 4y + 2 = 0\): - Công thức khoảng cách từ một điểm \( (x_1, y_1) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] - Thay \( (x_1, y_1) = (2, -3) \) và \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = 2 \) vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 2 + (-4) \cdot (-3) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 12 + 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|20|}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4 \] 2. Kết luận: - Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\), khoảng cách từ tâm \( I \) đến đường thẳng \(\Delta\) chính là bán kính của đường tròn. - Vậy bán kính của đường tròn là 4. Đáp số: Bán kính của đường tròn là 4. Câu 31. Câu hỏi: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: " Mặt có số chấm chẵn xuất hiện". $a~\sqrt{2x^2+3x+10}=x+4.$ $b~\sqrt{x^2+19}=2(x-4)$. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Phần 1: Xác suất của biến cố "Mặt có số chấm chẵn xuất hiện" 1. Xác định không gian mẫu: - Một con xúc xắc có 6 mặt, mỗi mặt có số chấm từ 1 đến 6. - Các kết quả có thể xảy ra là: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - Số lượng kết quả trong không gian mẫu là 6. 2. Xác định biến cố "Mặt có số chấm chẵn xuất hiện": - Các số chẵn trên xúc xắc là: 2, 4, 6. - Số lượng kết quả trong biến cố này là 3. 3. Tính xác suất: - Xác suất của biến cố "Mặt có số chấm chẵn xuất hiện" là: \[ P(A) = \frac{\text{số lượng kết quả thuận lợi}}{\text{số lượng kết quả trong không gian mẫu}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Phần 2: Giải phương trình $a~\sqrt{2x^2+3x+10}=x+4$ 1. Điều kiện xác định: - $\sqrt{2x^2 + 3x + 10}$ luôn luôn có nghĩa vì $2x^2 + 3x + 10 > 0$ với mọi $x$. - $x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$. 2. Bình phương cả hai vế: \[ (\sqrt{2x^2 + 3x + 10})^2 = (x + 4)^2 \] \[ 2x^2 + 3x + 10 = x^2 + 8x + 16 \] 3. Chuyển tất cả về một vế: \[ 2x^2 + 3x + 10 - x^2 - 8x - 16 = 0 \] \[ x^2 - 5x - 6 = 0 \] 4. Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 5x - 6 = 0 \] Tìm nghiệm: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \] \[ x_1 = 6, \quad x_2 = -1 \] 5. Kiểm tra điều kiện: - $x = 6$: Thỏa mãn $x \geq -4$. - $x = -1$: Thỏa mãn $x \geq -4$. 6. Kết luận nghiệm: \[ x = 6 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Phần 3: Giải phương trình $b~\sqrt{x^2+19}=2(x-4)$ 1. Điều kiện xác định: - $\sqrt{x^2 + 19}$ luôn luôn có nghĩa vì $x^2 + 19 > 0$ với mọi $x$. - $2(x - 4) \geq 0 \Rightarrow x \geq 4$. 2. Bình phương cả hai vế: \[ (\sqrt{x^2 + 19})^2 = [2(x - 4)]^2 \] \[ x^2 + 19 = 4(x^2 - 8x + 16) \] \[ x^2 + 19 = 4x^2 - 32x + 64 \] 3. Chuyển tất cả về một vế: \[ x^2 + 19 - 4x^2 + 32x - 64 = 0 \] \[ -3x^2 + 32x - 45 = 0 \] \[ 3x^2 - 32x + 45 = 0 \] 4. Giải phương trình bậc hai: \[ 3x^2 - 32x + 45 = 0 \] Tìm nghiệm: \[ x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 540}}{6} = \frac{32 \pm \sqrt{484}}{6} = \frac{32 \pm 22}{6} \] \[ x_1 = 9, \quad x_2 = \frac{5}{3} \] 5. Kiểm tra điều kiện: - $x = 9$: Thỏa mãn $x \geq 4$. - $x = \frac{5}{3}$: Không thỏa mãn $x \geq 4$. 6. Kết luận nghiệm: \[ x = 9 \] Đáp số: - Xác suất của biến cố "Mặt có số chấm chẵn xuất hiện" là $\frac{1}{2}$. - Nghiệm của phương trình $a~\sqrt{2x^2+3x+10}=x+4$ là $x = 6$ hoặc $x = -1$. - Nghiệm của phương trình $b~\sqrt{x^2+19}=2(x-4)$ là $x = 9$.