cho tam giác ABC có M,N,P là trung điểm của cạnh AB,BC,CA hãy chứng minh véc tơ AM+BN+CP=0

Question

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh rằng $\vec{AM} + \vec{BN} + \vec{CP} = \vec{0}$, ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và phép cộng vectơ.

1. Xác định các vectơ trung điểm:

- Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $BC$, $CA$. Theo định nghĩa trung điểm, ta có:
     $$
     \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB})
     $$
     $$
     \vec{BN} = \frac{1}{2}(\vec{BC})
     $$
     $$
     \vec{CP} = \frac{1}{2}(\vec{CA})
     $$

2. Biểu diễn các vectơ cạnh theo vectơ gốc:

- Ta có:
     $$
     \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}
     $$
     $$
     \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}
     $$
     $$
     \vec{CA} = \vec{A} - \vec{C}
     $$

3. Thay thế các vectơ cạnh vào biểu thức trung điểm:

- Thay các biểu thức trên vào các vectơ trung điểm:
     $$
     \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{B} - \vec{A})
     $$
     $$
     \vec{BN} = \frac{1}{2}(\vec{C} - \vec{B})
     $$
     $$
     \vec{CP} = \frac{1}{2}(\vec{A} - \vec{C})
     $$

4. Cộng các vectơ trung điểm:

- Cộng các vectơ $\vec{AM}$, $\vec{BN}$, $\vec{CP}$:
     $$
     \vec{AM} + \vec{BN} + \vec{CP} = \frac{1}{2}(\vec{B} - \vec{A}) + \frac{1}{2}(\vec{C} - \vec{B}) + \frac{1}{2}(\vec{A} - \vec{C})
     $$

5. Rút gọn biểu thức:

- Rút gọn biểu thức trên:
     $$
     = \frac{1}{2}(\vec{B} - \vec{A} + \vec{C} - \vec{B} + \vec{A} - \vec{C})
     $$
     $$
     = \frac{1}{2}(\vec{B} - \vec{B} + \vec{C} - \vec{C} + \vec{A} - \vec{A})
     $$
     $$
     = \frac{1}{2}(\vec{0})
     $$
     $$
     = \vec{0}
     $$

6. Kết luận:

- Vậy, ta đã chứng minh được rằng $\vec{AM} + \vec{BN} + \vec{CP} = \vec{0}$.