Cho tam giác đều ABC cạnh=1 điểm M thỏa mãn MA.MB + MB.MC + MC.MA = 1

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học và đại số. Bước 1: Xác định điều kiện của điểm M Cho tam giác đều \( \triangle ABC \) có cạnh bằng 1. Ta cần tìm điểm \( M \) sao cho: \[ MA \cdot MB + MB \cdot MC + MC \cdot MA = 1. \] Bước 2: Sử dụng tọa độ để biểu diễn các điểm Đặt tam giác đều \( \triangle ABC \) trong hệ tọa độ phẳng với: - \( A(0, 0) \) - \( B(1, 0) \) - \( C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) Giả sử điểm \( M(x, y) \). Bước 3: Tính các độ dài \( MA, MB, MC \) - \( MA = \sqrt{x^2 + y^2} \) - \( MB = \sqrt{(x-1)^2 + y^2} \) - \( MC = \sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \) Bước 4: Thiết lập phương trình Thay các độ dài vào phương trình: \[ \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{(x-1)^2 + y^2} \cdot \sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} + \sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \cdot \sqrt{x^2 + y^2} = 1. \] Bước 5: Phân tích và giải phương trình Phương trình trên khá phức tạp để giải trực tiếp, nhưng ta có thể nhận thấy rằng nếu \( M \) là tâm của tam giác đều \( \triangle ABC \), thì: - Tâm của tam giác đều \( \triangle ABC \) là điểm \( G\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right) \). Thay tọa độ của \( G \) vào các độ dài: - \( MA = MB = MC = \frac{\sqrt{3}}{3} \) Khi đó: \[ MA \cdot MB + MB \cdot MC + MC \cdot MA = 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1. \] Vậy điểm \( M \) chính là tâm của tam giác đều \( \triangle ABC \). Kết luận: Điểm \( M \) thỏa mãn điều kiện đã cho là tâm của tam giác đều \( \triangle ABC \), có tọa độ \( \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right) \).