Giải bài tập

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin cho biết: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Trong tam giác \( ABC \), ta có: - \( AB = c = 4 \) - \( AC = b = 5 \) - \(\cos A = \frac{3}{5}\) Ta cần tìm độ dài cạnh \( BC = a \). Áp dụng định lý cosin cho góc \( A \): \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ a^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{3}{5} \] \[ a^2 = 25 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{3}{5} \] \[ a^2 = 25 + 16 - 24 \] \[ a^2 = 41 - 24 \] \[ a^2 = 17 \] Do đó, độ dài cạnh \( BC = a = \sqrt{17} \). Vậy đáp án đúng là \(\textcircled{A.}~\sqrt{17}.\) Câu 18: Để tìm bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \), ta có thể sử dụng công thức liên quan đến góc và cạnh trong tam giác. Đối với tam giác \( ABC \) với góc \( A = 30^\circ \) và cạnh đối diện \( BC = 4 \), công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp là: \[ R = \frac{a}{2 \sin A} \] Trong đó: - \( a = BC = 4 \) - \( A = 30^\circ \) Ta có: \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Thay vào công thức: \[ R = \frac{4}{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{4}{1} = 4 \] Vậy bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) là 4. Do đó, đáp án đúng là \( C.~R=4. \) Câu 19: Để tính diện tích tam giác \( ABC \) với \( AB = 8 \), \( AC = 9 \) và góc \( A = 60^\circ \), ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A \] Với \( AB = 8 \), \( AC = 9 \) và \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ta thay vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 9 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \times 72 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{72}{4} \times \sqrt{3} \] \[ S = 18\sqrt{3} \] Vậy diện tích tam giác \( ABC \) là \( 18\sqrt{3} \) (đơn vị diện tích). Do đó, đáp án đúng là \( A.~S_{var}=18\sqrt3(đvdt). \) Câu 20: Để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, ta có thể sử dụng công thức liên quan đến cạnh và góc của tam giác. Cụ thể, công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) của tam giác có một góc \( C \) là: \[ R = \frac{a}{2\sin C} \] Trong đó: - \( a \) là độ dài cạnh đối diện với góc \( C \). - \( C \) là góc của tam giác. Theo đề bài, ta có: - \( AB = 5 \) là cạnh đối diện với góc \( C = 30^\circ \). Áp dụng công thức, ta có: \[ R = \frac{5}{2\sin 30^\circ} \] Biết rằng \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), ta thay vào công thức: \[ R = \frac{5}{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{5}{1} = 5 \] Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là 5. Đáp án đúng là B. 5. Câu 21: Để xác định khẳng định sai trong các lựa chọn đã cho, ta cần xem xét từng công thức tính diện tích tam giác và điều kiện áp dụng của chúng. 1. Khẳng định A: \( S = \frac{1}{2} a h_6 \) Công thức này không chính xác vì không có khái niệm \( h_6 \) trong hình học phẳng. Thông thường, diện tích tam giác được tính bằng công thức \( S = \frac{1}{2} a h_a \), trong đó \( h_a \) là đường cao tương ứng với cạnh \( a \). 2. Khẳng định B: \( S = \frac{1}{2} ac \sin B \) Công thức này là đúng. Đây là công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa. Cụ thể, diện tích tam giác có thể được tính bằng \( S = \frac{1}{2} ab \sin C \), \( S = \frac{1}{2} bc \sin A \), hoặc \( S = \frac{1}{2} ac \sin B \). 3. Khẳng định C: \( S = \frac{abc}{R} \) Công thức này không chính xác. Công thức đúng là \( S = \frac{abc}{4R} \), trong đó \( R \) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4. Khẳng định D: \( S = p \cdot r \) Công thức này là đúng. Đây là công thức tính diện tích tam giác khi biết bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp và nửa chu vi \( p \) của tam giác. Từ các phân tích trên, khẳng định sai là: - Khẳng định A: \( S = \frac{1}{2} a h_6 \) (do không có khái niệm \( h_6 \) trong hình học phẳng). Câu 22: Để giải quyết bài toán này, ta cần xét các giá trị của các hàm lượng giác trong khoảng góc $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Đây là khoảng góc thuộc góc phần tư thứ II trên đường tròn lượng giác. 1. Xét $\sin \alpha$: - Trong góc phần tư thứ II, giá trị của $\sin \alpha$ là dương. - Do đó, $\sin \alpha > 0$. 2. Xét $\cos \alpha$: - Trong góc phần tư thứ II, giá trị của $\cos \alpha$ là âm. - Do đó, $\cos \alpha < 0$. 3. Xét $\tan \alpha$: - $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. - Trong góc phần tư thứ II, $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$, do đó $\tan \alpha$ sẽ âm. - Do đó, $\tan \alpha < 0$. 4. Xét $\cot \alpha$: - $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. - Trong góc phần tư thứ II, $\cos \alpha < 0$ và $\sin \alpha > 0$, do đó $\cot \alpha$ sẽ âm. - Do đó, $\cot \alpha < 0$. Từ các phân tích trên, ta thấy chỉ có mệnh đề $\textcircled{A.}~\sin\alpha>0$ là đúng. Câu 23: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\sin\alpha\) từ \(\cos\alpha = -\frac{2}{3}\). 2. Tính giá trị của \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\). 3. Thay các giá trị đã tính vào biểu thức \(P\) và rút gọn. Bước 1: Tìm giá trị của \(\sin\alpha\). Ta biết rằng: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay \(\cos\alpha = -\frac{2}{3}\) vào công thức trên: \sin^2\alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \sin^2\alpha + \frac{4}{9} = 1 \sin^2\alpha = 1 - \frac{4}{9} \sin^2\alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \sin^2\alpha = \frac{5}{9} Do \(\cos\alpha\) âm, \(\alpha\) nằm trong góc phần tư III hoặc IV. Vì vậy, \(\sin\alpha\) cũng âm: \sin\alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} Bước 2: Tính giá trị của \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\). Ta có: \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} Bước 3: Thay các giá trị đã tính vào biểu thức \(P\) và rút gọn. Biểu thức \(P\) là: P = \frac{\cot\alpha + 3\tan\alpha}{2\cos\alpha + \tan\alpha} Thay các giá trị vào: P = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5} + 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}}{2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{\sqrt{5}}{2}} P = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{3\sqrt{5}}{2}}{-\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{5}}{2}} Quy đồng mẫu số: P = \frac{\frac{4\sqrt{5} + 15\sqrt{5}}{10}}{\frac{-8 + 3\sqrt{5}}{6}} P = \frac{\frac{19\sqrt{5}}{10}}{\frac{-8 + 3\sqrt{5}}{6}} Nhân chéo: P = \frac{19\sqrt{5} \cdot 6}{10 \cdot (-8 + 3\sqrt{5})} P = \frac{114\sqrt{5}}{-80 + 30\sqrt{5}} Rút gọn: Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 24: Để tính góc \( \angle BAC \) trong tam giác \( ABC \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( ABC \) với các cạnh \( AB = c, AC = b, BC = a \) là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Trong bài toán này, ta có: - \( AB = a \) - \( AC = a\sqrt{3} \) - \( BC = a\sqrt{7} \) Áp dụng định lý cosin cho góc \( \angle BAC \), ta có: \[ (BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC \] Thay các giá trị vào, ta được: \[ (a\sqrt{7})^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 - 2 \cdot a \cdot a\sqrt{3} \cdot \cos \angle BAC \] \[ 7a^2 = a^2 + 3a^2 - 2a^2\sqrt{3} \cdot \cos \angle BAC \] \[ 7a^2 = 4a^2 - 2a^2\sqrt{3} \cdot \cos \angle BAC \] Chuyển vế và rút gọn: \[ 7a^2 - 4a^2 = -2a^2\sqrt{3} \cdot \cos \angle BAC \] \[ 3a^2 = 2a^2\sqrt{3} \cdot \cos \angle BAC \] Chia cả hai vế cho \( 2a^2\sqrt{3} \): \[ \frac{3}{2\sqrt{3}} = \cos \angle BAC \] Rút gọn phân số: \[ \cos \angle BAC = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Góc có cosin bằng \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) là \( 30^\circ \) hoặc \( 150^\circ \). Do đó, góc \( \angle BAC \) có thể là \( 30^\circ \) hoặc \( 150^\circ \). Vì tam giác \( ABC \) có các cạnh không bằng nhau, nên góc \( \angle BAC \) không thể là góc nhọn, do đó: Góc \( \angle BAC = 150^\circ \). Vậy đáp án đúng là \( B.~150^\circ \). Câu 25: Để tìm độ dài cạnh \( c \) của tam giác \( \triangle ABC \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( \triangle ABC \) với các cạnh \( a, b, c \) và góc \( \angle C \) là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Trong bài toán này, ta có: - \( a = 6 \) - \( b = 8 \) - \( \angle B = 45^\circ \) Trước tiên, ta cần tính \( \cos 45^\circ \). Ta biết rằng: \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Thay các giá trị vào công thức định lý cosin: \[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Tính từng phần: \[ 6^2 = 36 \] \[ 8^2 = 64 \] \[ 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 96 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 48\sqrt{2} \] Thay vào công thức: \[ c^2 = 36 + 64 - 48\sqrt{2} \] \[ c^2 = 100 - 48\sqrt{2} \] Để tìm \( c \), ta cần tính căn bậc hai của \( c^2 \): \[ c = \sqrt{100 - 48\sqrt{2}} \] Để tìm giá trị gần đúng của \( c \), ta có thể sử dụng máy tính hoặc bảng giá trị gần đúng. Sau khi tính toán, ta tìm được: \[ c \approx 5.7 \] Vậy độ dài cạnh \( c \) là \( 5.7 \). Đáp án đúng là A. 5.7. Câu 26: Để xác định khẳng định nào là đúng, ta cần xem xét các công thức lượng giác cơ bản. 1. Công thức cơ bản nhất trong lượng giác là: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Đây là một đẳng thức đúng với mọi góc \(\alpha\). 2. Xét khẳng định A: \(\sin^2a - \cos^2a = 1\) Ta có: \[ \sin^2a - \cos^2a = (\sin^2a + \cos^2a) - 2\cos^2a = 1 - 2\cos^2a \] Đẳng thức này chỉ đúng khi \(1 - 2\cos^2a = 1\), tức là \(\cos^2a = 0\). Điều này chỉ xảy ra khi \(\cos a = 0\), nhưng không đúng với mọi góc \(a\). Vậy khẳng định A là sai. 3. Xét khẳng định B: \(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -1\) Tương tự như trên, ta có: \[ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 1 - 2\cos^2\alpha \] Đẳng thức này chỉ đúng khi \(1 - 2\cos^2\alpha = -1\), tức là \(2\cos^2\alpha = 2\), hay \(\cos^2\alpha = 1\). Điều này chỉ xảy ra khi \(\cos \alpha = \pm 1\), nhưng không đúng với mọi góc \(\alpha\). Vậy khẳng định B là sai. 4. Xét khẳng định C: \(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 0\) Ta có: \[ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 0 \Rightarrow \sin^2\alpha = \cos^2\alpha \] Điều này chỉ đúng khi \(\sin \alpha = \pm \cos \alpha\), tức là \(\alpha = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Tuy nhiên, điều này không đúng với mọi góc \(\alpha\). Vậy khẳng định C là sai. 5. Xét khẳng định D: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) Đây là công thức lượng giác cơ bản và đúng với mọi góc \(\alpha\). Vậy khẳng định đúng là D: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Câu 27: Để tính giá trị của biểu thức \( P = 5\cos\alpha - 1 \) khi biết \( \sin\alpha = \frac{4}{5} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của \( \cos\alpha \). Ta biết rằng: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay giá trị \( \sin\alpha = \frac{4}{5} \) vào công thức trên: \[ \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{16}{25} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{9}{25} \] Do đó: \[ \cos\alpha = \pm \frac{3}{5} \] Bước 2: Thay giá trị của \( \cos\alpha \) vào biểu thức \( P \). Trường hợp 1: \( \cos\alpha = \frac{3}{5} \) \[ P = 5 \cdot \frac{3}{5} - 1 \] \[ P = 3 - 1 \] \[ P = 2 \] Trường hợp 2: \( \cos\alpha = -\frac{3}{5} \) \[ P = 5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - 1 \] \[ P = -3 - 1 \] \[ P = -4 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) có thể là \( 2 \) hoặc \( -4 \). Đáp án đúng là: A. -4 B. 2 Câu 28: Để tìm số đo góc \( A \) trong tam giác \( ABC \) với các cạnh \( AB = 5 \), \( BC = 7 \), và \( AC = 8 \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( ABC \) là: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Trong đó, \( a = BC = 7 \), \( b = AC = 8 \), và \( c = AB = 5 \). Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ \cos A = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 5} \] Tính toán từng phần: - \( 8^2 = 64 \) - \( 5^2 = 25 \) - \( 7^2 = 49 \) Thay vào công thức: \[ \cos A = \frac{64 + 25 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \] Góc \( A \) có \(\cos A = \frac{1}{2}\), điều này chỉ ra rằng góc \( A \) là \( 60^\circ \) (vì \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)). Vậy, số đo góc \( A \) là \( 60^\circ \). Đáp án đúng là \(\textcircled{B.}~60^\circ\).