Kjdnnsskksksnsnb

Câu 3. a) Số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc là: \[ 1000 - 200 = 800 \text{ học sinh} \] Xác suất chọn được học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc là: \[ P(\text{không tham gia}) = \frac{800}{1000} = 0,8 \] b) Số học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc và biết chơi đàn guitar là: \[ 200 \times 0,85 = 170 \text{ học sinh} \] Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ âm nhạc vừa biết chơi đàn guitar là: \[ P(\text{tham gia và biết chơi}) = \frac{170}{1000} = 0,17 \] c) Số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc nhưng biết chơi đàn guitar là: \[ 800 \times 0,1 = 80 \text{ học sinh} \] Tổng số học sinh biết chơi đàn guitar là: \[ 170 + 80 = 250 \text{ học sinh} \] Xác suất chọn được học sinh biết chơi đàn guitar là: \[ P(\text{biết chơi}) = \frac{250}{1000} = 0,25 \] d) Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là: \[ P(\text{thuộc CLB | biết chơi}) = \frac{\text{số học sinh biết chơi và thuộc CLB}}{\text{tổng số học sinh biết chơi}} = \frac{170}{250} = 0,68 \] Đáp số: a) 0,8 b) 0,17 c) 0,25 d) 0,68 Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Phương tham số của đường thẳng Trong hệ trục tọa độ đã cho, thiên thạch di chuyển trên đường thẳng có phương tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -12 - 12t \\ y = 29 + 17t \\ z = 10 + 5t \end{array} \right. \] b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát Hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6630 km so với mực nước biển, tức là bán kính từ tâm Trái Đất là 6370 km + 6630 km = 13000 km. Phương trình mặt cầu đại diện cho phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là: \[ x^2 + y^2 + z^2 = 13^2 \] \[ x^2 + y^2 + z^2 = 169 \] Thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt cầu: \[ (-12 - 12t)^2 + (29 + 17t)^2 + (10 + 5t)^2 = 169 \] Phát triển và thu gọn: \[ (144 + 288t + 144t^2) + (841 + 986t + 289t^2) + (100 + 100t + 25t^2) = 169 \] \[ 144 + 288t + 144t^2 + 841 + 986t + 289t^2 + 100 + 100t + 25t^2 = 169 \] \[ 458t^2 + 1374t + 1085 = 169 \] \[ 458t^2 + 1374t + 916 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-1374 \pm \sqrt{1374^2 - 4 \cdot 458 \cdot 916}}{2 \cdot 458} \] \[ t = \frac{-1374 \pm \sqrt{1888876 - 1673024}}{916} \] \[ t = \frac{-1374 \pm \sqrt{215852}}{916} \] \[ t = \frac{-1374 \pm 464.6}{916} \] Có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{-1374 + 464.6}{916} \approx -1 \] \[ t_2 = \frac{-1374 - 464.6}{916} \approx -2 \] Thay \( t_1 = -1 \) vào phương trình tham số: \[ x = -12 - 12(-1) = 0 \] \[ y = 29 + 17(-1) = 12 \] \[ z = 10 + 5(-1) = 5 \] Vậy vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm \( B(0; 12; 5) \). c) Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát Thay \( t_2 = -2 \) vào phương trình tham số: \[ x = -12 - 12(-2) = 12 \] \[ y = 29 + 17(-2) = -5 \] \[ z = 10 + 5(-2) = 0 \] Vậy vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm \( A(12; -5; 0) \). d) Thiên thạch trên không thể va vào trái đất Phương trình mặt cầu đại diện cho bề mặt Trái Đất là: \[ x^2 + y^2 + z^2 = 6.37^2 \] \[ x^2 + y^2 + z^2 = 40.5769 \] Thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt cầu: \[ (-12 - 12t)^2 + (29 + 17t)^2 + (10 + 5t)^2 = 40.5769 \] Phát triển và thu gọn: \[ (144 + 288t + 144t^2) + (841 + 986t + 289t^2) + (100 + 100t + 25t^2) = 40.5769 \] \[ 458t^2 + 1374t + 1085 = 40.5769 \] \[ 458t^2 + 1374t + 1044.4231 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-1374 \pm \sqrt{1374^2 - 4 \cdot 458 \cdot 1044.4231}}{2 \cdot 458} \] \[ t = \frac{-1374 \pm \sqrt{1888876 - 1919999.9996}}{916} \] \[ t = \frac{-1374 \pm \sqrt{-31123.9996}}{916} \] Vì phương trình bậc hai này có biệt thức âm (\( \Delta < 0 \)), nên không có nghiệm thực. Điều này chứng tỏ rằng đường thẳng không cắt mặt cầu đại diện cho bề mặt Trái Đất, do đó thiên thạch không thể va vào Trái Đất. Kết luận a) Phương tham số của đường thẳng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -12 - 12t \\ y = 29 + 17t \\ z = 10 + 5t \end{array} \right. \] b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm \( B(0; 12; 5) \). c) Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm \( A(12; -5; 0) \). d) Thiên thạch không thể va vào Trái Đất. Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích hình tam giác ABC: - Ta biết rằng diện tích của một tam giác được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC}) \] - Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \sin(150^\circ) \] - Biết rằng $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ cm}^2 \] 2. Tính độ dài cạnh BC: - Áp dụng định lý余弦定理计算边BC的长度： \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] - 代入已知值： \[ BC^2 = 2^2 + 6^2 - 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot \cos(150^\circ) \] - 知道$\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，我们有： \[ BC^2 = 4 + 36 - 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 40 + 12\sqrt{3} \] - 因此： \[ BC = \sqrt{40 + 12\sqrt{3}} \] 3. 计算点A到直线BC的距离（即高h）： - 使用面积公式$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$，我们可以解出h： \[ 3 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{40 + 12\sqrt{3}} \cdot h \] - 解得： \[ h = \frac{6}{\sqrt{40 + 12\sqrt{3}}} \] 4. 计算BB'和AC之间的距离： - 在直棱柱中，BB'是垂直于底面的，因此BB'和AC之间的距离就是点A到底边BC的距离h。 - 所以，BB'和AC之间的距离为： \[ d = \frac{6}{\sqrt{40 + 12\sqrt{3}}} \] 最终答案是： \[ d = \frac{6}{\sqrt{40 + 12\sqrt{3}}} \]