Giúp mình vs

Câu 1: Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(-1;2)$ và nhận $\overrightarrow{n} = (2; -4)$ làm véctơ pháp tuyến, ta sử dụng công thức tổng quát của phương trình đường thẳng: Phương trình đường thẳng đi qua điểm $(x_0, y_0)$ và nhận $\overrightarrow{n} = (a, b)$ làm véctơ pháp tuyến là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] Trong bài này, ta có: - Điểm $A(-1; 2)$, tức là $x_0 = -1$ và $y_0 = 2$ - Véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2, -4)$, tức là $a = 2$ và $b = -4$ Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ 2(x - (-1)) - 4(y - 2) = 0 \] \[ 2(x + 1) - 4(y - 2) = 0 \] \[ 2x + 2 - 4y + 8 = 0 \] \[ 2x - 4y + 10 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ x - 2y + 5 = 0 \] Vậy phương trình đường thẳng là: \[ x - 2y + 5 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~x - 2y + 5 = 0 \] Câu 2: Để tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: x - 2y + 2024 = 0\), ta cần xác định vectơ pháp tuyến từ phương trình của đường thẳng này. Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng tổng quát là: \[ x - 2y + 2024 = 0 \] Trong phương trình tổng quát \(Ax + By + C = 0\), vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \((A, B)\). Trong trường hợp này, \(A = 1\) và \(B = -2\). Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{n} = (1, -2) \] Bây giờ, ta kiểm tra các lựa chọn đã cho để xác định vectơ pháp tuyến đúng đắn: A. \(\overrightarrow{n}_1 = (0, -2)\) B. \(\overrightarrow{n}_3 = (-2, 0)\) C. \(\overrightarrow{n}_4 = (2, 1)\) D. \(\overrightarrow{n}_2 = (1, -2)\) Trong các lựa chọn trên, chỉ có \(\overrightarrow{n}_2 = (1, -2)\) là đúng. Vậy đáp án đúng là: \[ D. \overrightarrow{n}_2 = (1, -2) \] Câu 3: Để tính khoảng cách từ điểm \( A(-3;2) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x - y + 1 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_1, y_1) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong bài này, ta có: - Điểm \( A(-3;2) \) nên \( x_1 = -3 \) và \( y_1 = 2 \) - Đường thẳng \( \Delta: 3x - y + 1 = 0 \) nên \( a = 3 \), \( b = -1 \), và \( c = 1 \) Áp dụng công thức: \[ d = \frac{|3(-3) + (-1)(2) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} \] \[ d = \frac{|-9 - 2 + 1|}{\sqrt{9 + 1}} \] \[ d = \frac{|-10|}{\sqrt{10}} \] \[ d = \frac{10}{\sqrt{10}} \] \[ d = \frac{10}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{10\sqrt{10}}{10} = \sqrt{10} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A(-3;2) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x - y + 1 = 0 \) là \( \sqrt{10} \). Đáp án đúng là: \( A.~\sqrt{10} \). Câu 4: Phương trình đường tròn tâm $I(a, b)$ và bán kính $R$ có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Trong bài này, tâm đường tròn là $I(6, -7)$ và bán kính là $R = \sqrt{10}$. Do đó, ta có: \[ a = 6, \quad b = -7, \quad R = \sqrt{10} \] Thay các giá trị này vào phương trình đường tròn, ta được: \[ (x - 6)^2 + (y - (-7))^2 = (\sqrt{10})^2 \] \[ (x - 6)^2 + (y + 7)^2 = 10 \] Vậy phương trình đường tròn là: \[ (x - 6)^2 + (y + 7)^2 = 10 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~(x - 6)^2 + (y + 7)^2 = 10 \] Câu 5: Để viết phương trình đường tròn có tâm \( I(1, -5) \) và đi qua điểm \( O(0, 0) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm bán kính của đường tròn: Bán kính \( R \) của đường tròn là khoảng cách từ tâm \( I(1, -5) \) đến điểm \( O(0, 0) \). Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: \[ R = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Thay tọa độ của \( I \) và \( O \): \[ R = \sqrt{(0 - 1)^2 + (0 - (-5))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \] 2. Viết phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn có tâm \( (a, b) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Thay \( a = 1 \), \( b = -5 \), và \( R = \sqrt{26} \): \[ (x - 1)^2 + (y + 5)^2 = (\sqrt{26})^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 26 \] Vậy phương trình đường tròn là: \[ (x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 26 \] Đáp án đúng là: \( A.~(x-1)^2+(y+5)^2=26 \). Câu 6: Để xác định phương trình của một đường tròn, ta cần kiểm tra xem phương trình có thể viết dưới dạng tổng bình phương của hai biến \(x\) và \(y\) với cùng hệ số 1 trước mỗi bình phương, và có hằng số tự do. Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phương trình: A. \(x^2 + y^2 - 8x + 10y + 43 = 0\) Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) lại: \[x^2 - 8x + y^2 + 10y + 43 = 0\] Hoàn thành bình phương: \[x^2 - 8x + 16 + y^2 + 10y + 25 + 43 - 16 - 25 = 0\] \[(x - 4)^2 + (y + 5)^2 + 43 - 41 = 0\] \[(x - 4)^2 + (y + 5)^2 + 2 = 0\] Phương trình này không đúng vì tổng của hai bình phương không thể âm. B. \(x^2 + y^2 - 48x + 50y + 1101 = 0\) Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) lại: \[x^2 - 48x + y^2 + 50y + 1101 = 0\] Hoàn thành bình phương: \[x^2 - 48x + 576 + y^2 + 50y + 625 + 1101 - 576 - 625 = 0\] \[(x - 24)^2 + (y + 25)^2 + 1101 - 1201 = 0\] \[(x - 24)^2 + (y + 25)^2 - 100 = 0\] \[(x - 24)^2 + (y + 25)^2 = 100\] Phương trình này đúng và là phương trình của một đường tròn tâm \((24, -25)\) bán kính \(10\). C. \(2x^2 + y^2 - 24x + 50y - 100 = 0\) Phương trình này không có hệ số 1 trước mỗi bình phương của \(x\) và \(y\), nên không phải là phương trình của một đường tròn. D. \(x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 1 = 0\) Phương trình này cũng không có hệ số 1 trước mỗi bình phương của \(x\) và \(y\), nên không phải là phương trình của một đường tròn. Vậy phương trình của một đường tròn là: \[B.~x^2 + y^2 - 48x + 50y + 1101 = 0.\] Câu 7: Phương trình chính tắc của một elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ và $b$ là các hằng số dương. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình nào đúng với dạng này: A. $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1$ - Đây là phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 4$ và $b^2 = 5$. Do đó, phương trình này là phương trình chính tắc của một elip. B. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ - Đây là phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, đây là phương trình chính tắc của một hyperbol, không phải elip. C. $\frac{x}{25} + \frac{y}{16} = 1$ - Đây là phương trình của một đường thẳng, không phải là phương trình chính tắc của một elip. D. $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ - Đây là phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 4$ và $b^2 = 2$. Do đó, phương trình này cũng là phương trình chính tắc của một elip. Tuy nhiên, trong các phương án đã cho, chỉ có phương án A là đúng theo yêu cầu của đề bài. Vậy phương trình chính tắc của một elip là: \[ \boxed{\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1} \] Câu 8: Để xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn $(C)$ từ phương trình $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 9$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phương trình chuẩn của đường tròn: Phương trình chuẩn của đường tròn có tâm tại $(a, b)$ và bán kính $R$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] 2. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình của đường tròn $(C)$ là: \[ (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 9 \] Ta thấy rằng phương trình này có dạng: \[ (x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = 3^2 \] 3. Xác định tâm và bán kính: Từ so sánh trên, ta nhận thấy: - Tâm của đường tròn là $I(-4, 2)$. - Bán kính của đường tròn là $R = 3$. Do đó, tọa độ tâm và bán kính của đường tròn $(C)$ là: \[ I(-4, 2); R = 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~I(-4;2);R=3. \] Câu 9: Phương trình chính tắc của đường hypebol là phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ hoặc $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$, trong đó $a$ và $b$ là các hằng số dương. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình: A. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ - Đây là phương trình của elip, không phải là đường hypebol. B. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ - Đây đúng là phương trình chính tắc của đường hypebol với $a^2 = 9$ và $b^2 = 4$. C. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 0$ - Đây là phương trình của hai đường thẳng, không phải là đường hypebol. D. $y^2 = 4x$ - Đây là phương trình của parabol, không phải là đường hypebol. Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol là: Đáp án đúng là: B. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$.