giúp mình với

Bài 18: Để giải quyết phương trình quy về phương trình bậc hai, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình ban đầu: Giả sử phương trình ban đầu là \( f(x) = 0 \). 2. Quy về phương trình bậc hai: Phương trình bậc hai có dạng tổng quát là \( ax^2 + bx + c = 0 \). Chúng ta cần biến đổi phương trình ban đầu thành dạng này. 3. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Nếu phương trình chứa phân thức, căn thức, hoặc bất kỳ biểu thức nào yêu cầu điều kiện xác định, chúng ta cần xác định ĐKXĐ trước khi giải phương trình. 4. Giải phương trình bậc hai: - Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). - Tính delta (\( \Delta \)) = \( b^2 - 4ac \). - Xét các trường hợp: - Nếu \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \) và \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \). - Nếu \( \Delta = 0 \), phương trình có nghiệm kép: \( x = \frac{-b}{2a} \). - Nếu \( \Delta < 0 \), phương trình vô nghiệm. 5. Kiểm tra điều kiện xác định: - Kiểm tra các nghiệm tìm được có thỏa mãn ĐKXĐ hay không. 6. Viết kết luận: - Ghi rõ các nghiệm của phương trình và kết luận cuối cùng. Ví dụ cụ thể Giả sử phương trình ban đầu là \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). 1. Xác định phương trình ban đầu: \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). 2. Quy về phương trình bậc hai: Phương trình đã ở dạng bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 2 \). 3. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Không có phân thức hay căn thức, nên ĐKXĐ là \( x \in \mathbb{R} \). 4. Giải phương trình bậc hai: - Tính delta: \( \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \). - Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] 5. Kiểm tra điều kiện xác định: Cả hai nghiệm \( x_1 = 2 \) và \( x_2 = 1 \) đều thỏa mãn ĐKXĐ. 6. Viết kết luận: - Nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) hoặc \( x = 2 \). Vậy, phương trình \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) có hai nghiệm là \( x = 1 \) và \( x = 2 \). Câu 42: Phương trình $\sqrt{x} + 3 = -2$ Trước tiên, ta cần kiểm tra điều kiện xác định (ĐKXĐ): - $\sqrt{x}$ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0, tức là $\sqrt{x} \geq 0$. Do đó, $\sqrt{x} + 3$ sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng 3, tức là $\sqrt{x} + 3 \geq 3$. Nhưng phương trình yêu cầu $\sqrt{x} + 3 = -2$, mà $-2 < 3$. Điều này là vô lý vì $\sqrt{x} + 3$ không thể nhỏ hơn 3. Vậy phương trình $\sqrt{x} + 3 = -2$ không có nghiệm nào. Đáp án đúng là: D. 0 Câu 43: Để giải phương trình $x + \sqrt{x^2 + 1} = 3 + \sqrt{x^2 + 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình đã cho không chứa phân thức hay căn thức phụ thuộc vào biến, nên ĐKXĐ là tất cả các số thực. Bước 2: Giải phương trình - Ta thấy rằng $\sqrt{x^2 + 1}$ xuất hiện ở cả hai vế của phương trình. Do đó, ta có thể trừ $\sqrt{x^2 + 1}$ từ cả hai vế: \[ x + \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 + 1} = 3 + \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 + 1} \] \[ x = 3 \] Bước 3: Kiểm tra nghiệm - Thay $x = 3$ vào phương trình ban đầu: \[ 3 + \sqrt{3^2 + 1} = 3 + \sqrt{9 + 1} = 3 + \sqrt{10} \] \[ 3 + \sqrt{10} = 3 + \sqrt{10} \] Phương trình đúng, vậy $x = 3$ là nghiệm của phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = 3$. Đáp án đúng là: C.{3}. Câu 44: Phương trình $-2x^2 + 7x + 247 = 0$ có một nghiệm là 13. Ta sẽ tìm nghiệm còn lại của phương trình này. Trước tiên, ta biết rằng tổng của hai nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ là $-\frac{b}{a}$. Ở đây, $a = -2$, $b = 7$, và $c = 247$. Tổng của hai nghiệm là: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{-2} = \frac{7}{2} \] Biết rằng một nghiệm là 13, ta có thể viết: \[ 13 + x_2 = \frac{7}{2} \] Giải phương trình này để tìm nghiệm còn lại $x_2$: \[ x_2 = \frac{7}{2} - 13 \] \[ x_2 = \frac{7}{2} - \frac{26}{2} \] \[ x_2 = \frac{7 - 26}{2} \] \[ x_2 = \frac{-19}{2} \] Vậy nghiệm còn lại của phương trình là $-\frac{19}{2}$. Đáp án đúng là: $A.~-\frac{19}{2}$ Câu 45: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của phương trình bậc hai và các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm. Phương trình đã cho là: \[ x^2 - 13x - 7 = 0 \] Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 13 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -7 \] Ta cần tìm giá trị của \( x_1^2 + x_2^2 \). Ta sử dụng công thức: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ x_1^2 + x_2^2 = 13^2 - 2(-7) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 169 + 14 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 183 \] Vậy giá trị của \( x_1^2 + x_2^2 \) là 183. Đáp án đúng là: C. 183 Câu 46: Để giải phương trình $4x + \frac{3}{\sqrt{x+3}} = -x^2 + \frac{3}{\sqrt{x+3}}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần $\sqrt{x+3}$ có nghĩa, tức là: \[ x + 3 > 0 \implies x > -3 \] 2. Giải phương trình: Ta trừ $\frac{3}{\sqrt{x+3}}$ từ cả hai vế: \[ 4x + \frac{3}{\sqrt{x+3}} - \frac{3}{\sqrt{x+3}} = -x^2 + \frac{3}{\sqrt{x+3}} - \frac{3}{\sqrt{x+3}} \] Điều này dẫn đến: \[ 4x = -x^2 \] Đặt phương trình về dạng tổng bằng 0: \[ x^2 + 4x = 0 \] Factorize phương trình: \[ x(x + 4) = 0 \] Từ đây, ta tìm được các nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -4 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Với $x = 0$: Thỏa mãn $x > -3$ - Với $x = -4$: Không thỏa mãn $x > -3$ Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình là $x = 0$. Đáp án: B. 0 Câu 47: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đặt ẩn phụ: Gọi \( y = x^2 - x \). 2. Biến đổi bất phương trình: Bất phương trình ban đầu là: \[ (x^2 - x + 6)^2 - 9(x^2 - x) - 46 < 0 \] Thay \( y = x^2 - x \) vào, ta có: \[ (y + 6)^2 - 9y - 46 < 0 \] 3. Mở ngoặc và biến đổi: \[ y^2 + 12y + 36 - 9y - 46 < 0 \] \[ y^2 + 3y - 10 < 0 \] 4. Giải bất phương trình bậc hai: Ta giải phương trình \( y^2 + 3y - 10 = 0 \): \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \] Vậy: \[ y_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \quad \text{và} \quad y_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5 \] Bất phương trình \( y^2 + 3y - 10 < 0 \) đúng khi \( y \) nằm trong khoảng giữa hai nghiệm: \[ -5 < y < 2 \] 5. Quay lại ẩn ban đầu: Ta có \( y = x^2 - x \). Do đó: \[ -5 < x^2 - x < 2 \] 6. Giải hai bất phương trình: - Giải \( x^2 - x > -5 \): \[ x^2 - x + 5 > 0 \] Phương trình \( x^2 - x + 5 = 0 \) có \( \Delta = 1 - 4 \cdot 5 = -19 < 0 \), nên \( x^2 - x + 5 > 0 \) luôn đúng với mọi \( x \). - Giải \( x^2 - x < 2 \): \[ x^2 - x - 2 < 0 \] Phương trình \( x^2 - x - 2 = 0 \) có: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Vậy: \[ x_1 = 2 \quad \text{và} \quad x_2 = -1 \] Bất phương trình \( x^2 - x - 2 < 0 \) đúng khi: \[ -1 < x < 2 \] 7. Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình ban đầu là: \[ (-1; 2) \] Vậy \( b - a = 2 - (-1) = 3 \). Đáp số: \( b - a = 3 \). Câu 48: Để giải phương trình $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x - 4} = 0$, ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho tích của hai thừa số bằng 0. Điều này có nghĩa là ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0. 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với căn thức $\sqrt{x - 4}$, ta có điều kiện $x - 4 \geq 0$, suy ra $x \geq 4$. 2. Giải phương trình: - Phương trình $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x - 4} = 0$ sẽ đúng nếu: - $x^2 - 4x + 3 = 0$ - Hoặc $\sqrt{x - 4} = 0$ 3. Giải phương trình bậc hai: - $x^2 - 4x + 3 = 0$ - Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình này: \[ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \] - Suy ra: $x = 1$ hoặc $x = 3$ 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - Các giá trị $x = 1$ và $x = 3$ không thỏa mãn điều kiện $x \geq 4$. Do đó, chúng bị loại. 5. Giải phương trình căn thức: - $\sqrt{x - 4} = 0$ - Suy ra: $x - 4 = 0$ - Suy ra: $x = 4$ 6. Kiểm tra lại điều kiện xác định: - Giá trị $x = 4$ thỏa mãn điều kiện $x \geq 4$. Vậy tập nghiệm của phương trình $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x - 4} = 0$ là $\{4\}$. Đáp án: $A.~\{4\}$ Câu 49: Điều kiện xác định: $10 - x^2 \geq 0 \Rightarrow -\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$ Phương trình đã cho có thể viết lại thành: $(x + 3)\sqrt{10 - x^2} = (x + 3)(x - 4)$ Chia cả hai vế cho $(x + 3)$ (với điều kiện $x \neq -3$): $\sqrt{10 - x^2} = x - 4$ Bình phương cả hai vế: $10 - x^2 = (x - 4)^2$ $10 - x^2 = x^2 - 8x + 16$ $2x^2 - 8x + 6 = 0$ $x^2 - 4x + 3 = 0$ Phương trình này có các nghiệm: $x = 1$ hoặc $x = 3$ Kiểm tra điều kiện xác định: - Với $x = 1$: $-\sqrt{10} \leq 1 \leq \sqrt{10}$ (thỏa mãn) - Với $x = 3$: $-\sqrt{10} \leq 3 \leq \sqrt{10}$ (thỏa mãn) Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định. Đáp án: C. 2 Bài 19: Phương trình đường thẳng là một dạng phương trình đại số mô tả vị trí của một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ. Dưới đây là các phương pháp lập phương trình đường thẳng dựa trên các thông tin khác nhau: 1. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có hệ số góc \( m \): Phương trình đường thẳng có dạng: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] 2. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \): - Tính hệ số góc \( m \) của đường thẳng: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] - Thay \( m \) và tọa độ của một trong hai điểm vào phương trình \( y - y_1 = m(x - x_1) \). 3. Phương trình đường thẳng song song với trục hoành: Phương trình đường thẳng song song với trục hoành có dạng: \[ y = c \] Trong đó \( c \) là hằng số. 4. Phương trình đường thẳng song song với trục tung: Phương trình đường thẳng song song với trục tung có dạng: \[ x = a \] Trong đó \( a \) là hằng số. 5. Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc \( m \): \[ y = mx \] 6. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: \[ Ax + By + C = 0 \] Trong đó \( A \), \( B \), và \( C \) là các hằng số, và \( A \) và \( B \) không đồng thời bằng 0. 7. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và vuông góc với đường thẳng có hệ số góc \( m \): Hệ số góc của đường thẳng vuông góc với đường thẳng có hệ số góc \( m \) là \( -\frac{1}{m} \). Phương trình đường thẳng có dạng: \[ y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1) \] 8. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và song song với đường thẳng \( y = mx + n \): 9. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và vuông góc với đường thẳng \( y = mx + n \): 10. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là \( d \): Trong đó \( m \) là hệ số góc của đường thẳng, và khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là \( d \). 11. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có góc tạo với trục Ox là \( \alpha \): Hệ số góc của đường thẳng là \( m = \tan(\alpha) \). Phương trình đường thẳng có dạng: \[ y - y_1 = \tan(\alpha)(x - x_1) \] 12. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có góc tạo với trục Oy là \( \beta \): Hệ số góc của đường thẳng là \( m = \cot(\beta) \). Phương trình đường thẳng có dạng: \[ y - y_1 = \cot(\beta)(x - x_1) \] 13. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có góc tạo với đường thẳng \( y = mx + n \) là \( \theta \): Hệ số góc của đường thẳng mới là \( m' \), và ta có: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{m' - m}{1 + m'm} \right| \] Giải phương trình này để tìm \( m' \), sau đó thay vào phương trình \( y - y_1 = m'(x - x_1) \). 14. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): Trong đó \( m \) là hệ số góc của đường thẳng, và khoảng cách từ điểm \( B \) đến đường thẳng là \( d \). 15. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 16. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 17. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 18. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 19. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 20. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 21. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 22. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 23. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 24. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 25. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 26. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 27. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 28. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 29. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 30. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 31. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 32. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 33. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 34. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 35. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 36. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 37. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 38. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 39. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 40. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 41. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): 42. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có khoảng cách từ điểm \( B(x_2, y_2) \) đến đường thẳng là \( d \): Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 50: Để xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng $(d): ax + by + c = 0$, ta cần tìm vectơ $\overrightarrow{n} = (n_x, n_y)$ sao cho nó vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ là $\overrightarrow{u} = (-b, a)$ hoặc $\overrightarrow{u} = (b, -a)$. Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $(d)$ sẽ là vectơ vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng. Ta kiểm tra từng đáp án: - Đáp án A: $\overrightarrow{n} = (a, -b)$ - Kiểm tra tính vuông góc: $(a, -b) \cdot (-b, a) = a(-b) + (-b)a = -ab - ab = -2ab$. - Kết luận: Không phải là vectơ pháp tuyến vì tích vô hướng không bằng 0. - Đáp án B: $\overrightarrow{n} = (b, a)$ - Kiểm tra tính vuông góc: $(b, a) \cdot (-b, a) = b(-b) + a(a) = -b^2 + a^2$. - Kết luận: Không phải là vectơ pháp tuyến vì tích vô hướng không bằng 0. - Đáp án C: $\overrightarrow{n} = (b, -a)$ - Kiểm tra tính vuông góc: $(b, -a) \cdot (-b, a) = b(-b) + (-a)a = -b^2 - a^2$. - Kết luận: Không phải là vectơ pháp tuyến vì tích vô hướng không bằng 0. - Đáp án D: $\overrightarrow{n} = (a, b)$ - Kiểm tra tính vuông góc: $(a, b) \cdot (-b, a) = a(-b) + b(a) = -ab + ab = 0$. - Kết luận: Là vectơ pháp tuyến vì tích vô hướng bằng 0. Vậy, vectơ pháp tuyến của đường thẳng $(d)$ là $\overrightarrow{n} = (a, b)$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{n} = (a, b)$. Câu 51: Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta cần hiểu rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng \(d\). Cụ thể: - Nếu giá của vectơ \(\overrightarrow{a}\) song song với đường thẳng \(d\), thì \(\overrightarrow{a}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). - Nếu giá của vectơ \(\overrightarrow{a}\) trùng với đường thẳng \(d\), thì \(\overrightarrow{a}\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng \(d\). Vậy đáp án đúng là: C. Song song hoặc trùng với đường thẳng \(d\). Câu 52: Để xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\), ta cần hiểu rằng vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với đường thẳng đó. Giá của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là đường thẳng đi qua gốc của vectơ và song song với hướng của vectơ. Nếu giá của vectơ \(\overrightarrow{a}\) vuông góc với đường thẳng \(d\), thì \(\overrightarrow{a}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\). Do đó, đáp án đúng là: A. Vuông góc với đường thẳng \(d\). Lập luận từng bước: 1. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với đường thẳng. 2. Giá của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là đường thẳng đi qua gốc của vectơ và song song với hướng của vectơ. 3. Nếu giá của vectơ \(\overrightarrow{a}\) vuông góc với đường thẳng \(d\), thì \(\overrightarrow{a}\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\). Vậy, đáp án đúng là A. Vuông góc với đường thẳng \(d\). Câu 53: Để tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: x - 2y + 3 = 0\), ta cần dựa vào phương trình tổng quát của đường thẳng \(ax + by + c = 0\). Trong phương trình này, vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \(\overrightarrow{n} = (a, b)\). Trong phương trình \(d: x - 2y + 3 = 0\), ta có: - \(a = 1\) - \(b = -2\) Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n} = (1, -2)\). Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\overrightarrow{n} = (1, -2) \] Câu 54: Để tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng $(d):~3x+2y-10=0$, ta cần xác định vectơ có các thành phần tương ứng với hệ số của $x$ và $y$ trong phương trình đường thẳng. Phương trình đường thẳng $(d)$ có dạng $ax + by + c = 0$, trong đó $a = 3$, $b = 2$. Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ là $\overrightarrow{n} = (a, b) = (3, 2)$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, vectơ pháp tuyến không phải là một trong các đáp án. Chúng ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng, tức là vectơ vuông góc với vectơ pháp tuyến. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ sẽ là vectơ vuông góc với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (3, 2)$. Một vectơ vuông góc với $\overrightarrow{n} = (3, 2)$ có thể là $\overrightarrow{u} = (-2, 3)$ hoặc $\overrightarrow{u} = (2, -3)$. Trong các lựa chọn đã cho: - $A.~\overrightarrow u=(3;2).$ - $B.~\overrightarrow u=(3;-2).$ - $C.~\overrightarrow u=(2;-3).$ - $D.~\overrightarrow u=(-2;-3).$ Ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{u} = (2, -3)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$. Vậy đáp án đúng là: $C.~\overrightarrow u=(2;-3).$ Câu 55: Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Lập luận từng bước: - Vectơ pháp tuyến của một đường thẳng là vectơ vuông góc với đường thẳng đó. - Trên một đường thẳng, ta có thể vẽ vô số đường thẳng vuông góc với nó. - Mỗi đường thẳng vuông góc với đường thẳng ban đầu sẽ xác định một vectơ pháp tuyến. - Do đó, một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Đáp số: Vô số vectơ pháp tuyến.