hhhhhhhhhh

Bài 14. a) Rút gọn biểu thức: $(2x-3)(x+5)=(2x^2-8)$ $2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 - 8$ $7x - 15 = -8$ $7x = 7$ $x = 1$ b) Cho đa thức $M(x) = 2x^2 - ax + 6$. Tìm hệ số a để đa thức M(x) có nghiệm $x = -2$. Thay $x = -2$ vào đa thức $M(x)$: $M(-2) = 2(-2)^2 - a(-2) + 6$ $= 2(4) + 2a + 6$ $= 8 + 2a + 6$ $= 14 + 2a$ Để đa thức $M(x)$ có nghiệm $x = -2$, ta cần $M(-2) = 0$: $14 + 2a = 0$ $2a = -14$ $a = -7$ Đáp số: a = -7 Bài 15. Để tính \(A + B\) và \(A - B\), chúng ta sẽ thực hiện phép cộng và trừ các đa thức tương ứng. Tính \(A + B\): 1. Viết lại các đa thức: \[ A = 2x^3 - 5x^2 + x - 7 \] \[ B = x^3 + 4x^2 - 1 \] 2. Cộng các hệ số của các hạng tử có cùng bậc: \[ A + B = (2x^3 + x^3) + (-5x^2 + 4x^2) + x + (-7 - 1) \] 3. Thực hiện phép cộng: \[ A + B = 3x^3 - x^2 + x - 8 \] Tính \(A - B\): 1. Viết lại các đa thức: \[ A = 2x^3 - 5x^2 + x - 7 \] \[ B = x^3 + 4x^2 - 1 \] 2. Trừ các hệ số của các hạng tử có cùng bậc: \[ A - B = (2x^3 - x^3) + (-5x^2 - 4x^2) + x + (-7 + 1) \] 3. Thực hiện phép trừ: \[ A - B = x^3 - 9x^2 + x - 6 \] Kết luận: \[ A + B = 3x^3 - x^2 + x - 8 \] \[ A - B = x^3 - 9x^2 + x - 6 \] Bài 16. a) Tính $A(x)+B(x)$ và $A(x)-B(x)$ $A(x)+B(x) = (-2x^3 + x^2 + 3x - 1) + (2x^3 + x^2 + x + 5)$ $= (-2x^3 + 2x^3) + (x^2 + x^2) + (3x + x) + (-1 + 5)$ $= 0 + 2x^2 + 4x + 4$ $= 2x^2 + 4x + 4$ $A(x)-B(x) = (-2x^3 + x^2 + 3x - 1) - (2x^3 + x^2 + x + 5)$ $= -2x^3 + x^2 + 3x - 1 - 2x^3 - x^2 - x - 5$ $= (-2x^3 - 2x^3) + (x^2 - x^2) + (3x - x) + (-1 - 5)$ $= -4x^3 + 0 + 2x - 6$ $= -4x^3 + 2x - 6$ b) Tìm nghiệm của đa thức $A(x)+B(x)$ Ta đã tính được $A(x)+B(x) = 2x^2 + 4x + 4$. Để tìm nghiệm của đa thức này, ta giải phương trình $2x^2 + 4x + 4 = 0$. Chia cả hai vế cho 2: $x^2 + 2x + 2 = 0$ Phương trình này không có nghiệm thực vì $\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$. Do đó, đa thức $A(x)+B(x)$ không có nghiệm. c) Tính $A(x).C(x)$ $A(x).C(x) = (-2x^3 + x^2 + 3x - 1)(x - 2)$ Áp dụng công thức nhân một đa thức với một đa thức: $= -2x^3(x - 2) + x^2(x - 2) + 3x(x - 2) - 1(x - 2)$ $= -2x^4 + 4x^3 + x^3 - 2x^2 + 3x^2 - 6x - x + 2$ $= -2x^4 + 5x^3 + x^2 - 7x + 2$ Đáp số: a) $A(x)+B(x) = 2x^2 + 4x + 4$ $A(x)-B(x) = -4x^3 + 2x - 6$ b) Đa thức $A(x)+B(x)$ không có nghiệm. c) $A(x).C(x) = -2x^4 + 5x^3 + x^2 - 7x + 2$ Bài 1. a) Ta có: - DB = DE (theo đề bài) - AD chung - $\angle ADB = \angle ADE = 90^\circ$ (vì AD là đường cao) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh huyền và cạnh góc vuông), ta có $\Delta ADB = \Delta ADE$. b) Ta cần chứng minh CI // AE. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng $\angle DAE = \angle DCA$. - Từ phần a), ta đã chứng minh $\Delta ADB = \Delta ADE$. Do đó, $\angle DAE = \angle DAB$. - Vì AD là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC, nên $\angle DAB = \angle DCA$ (hai góc so le trong). Từ đó, ta có $\angle DAE = \angle DCA$. Điều này chứng tỏ rằng CI // AE (vì hai góc so le trong bằng nhau). Đáp số: CI // AE. Bài 2. a) Ta có: - \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AM = MC \). - \( MD = MB \) (theo đề bài). - \( \angle AMB = \angle CMD \) (đối đỉnh). Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ ba (cạnh kề hai góc bằng nhau), ta có: \[ \Delta ABM = \Delta CDM \] b) Từ kết quả trên, ta có: \[ AB = CD \] \[ BM = DM \] Do đó, \( \Delta BCD \) là tam giác cân tại \( B \), suy ra: \[ BC = BD \] c) Ta có: \[ AB + BC = AB + BD \] Trong tam giác \( ABD \), ta có: \[ AB + BD > AD \] Mà \( AD = 2AM \) (vì \( M \) là trung điểm của \( AC \)), nên: \[ AB + BD > 2AM \] Vậy: \[ AB + BC > 2AM \] d) Ta có: - \( CE = CA \) (theo đề bài). - \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AM = MC \). Do đó, \( E \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( C \), suy ra \( C \) là trung điểm của \( AE \). Ta cũng có: - \( I \) là trung điểm của \( DE \). Trong tam giác \( ADE \), \( C \) là trung điểm của \( AE \) và \( I \) là trung điểm của \( DE \), nên đường thẳng đi qua \( C \) và \( I \) song song với \( AD \). Mặt khác, \( B \) nằm trên đường thẳng \( AD \) (vì \( D \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( M \)). Do đó, ba điểm \( B \), \( C \), \( I \) thẳng hàng. Bài 3. a) Ta có: - AH là đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC cân tại A, nên AH cũng là đường trung tuyến hạ từ đỉnh A. - Do đó, BH = HC. - Xét tam giác ABH và ACH, ta có: - AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A) - AH chung - BH = HC (AH là đường trung tuyến) - Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ ba (cạnh huyền - cạnh góc vuông), ta có $\Delta ABH = \Delta ACH$. b) Ta có: - N là trung điểm của AC, nên AN = NC. - G là giao điểm của BN và AH. - Trên tia đối của tia NG lấy điểm K sao cho NK = NG. - Xét tam giác NGC và NGK, ta có: - NG chung - NC = NK (vì N là trung điểm của AC và NK = NG) - Góc NGC = góc NGK (vì NK nằm trên tia đối của tia NG) - Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có $\Delta NGC = \Delta NGK$. - Do đó, GC = GK và góc GCK = góc GKC. - Vì $\Delta ABH = \Delta ACH$, nên góc BAH = góc CAH. - Gọi M là giao điểm của AH và BK, ta có: - Góc AMB = góc AMH (góc đối đỉnh) - Góc BAM = góc CAM (góc BAH = góc CAH) - AM chung - Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có $\Delta AMB = \Delta AMH$. - Do đó, BM = MH và góc ABM = góc AHM. - Vì góc AHM = 90° (AH vuông góc với BC), nên góc ABM = 90°. - Từ đó, góc BCK = 90° (góc GCK = góc GKC và góc GCK + góc GKC + góc BCK = 180°). - Vậy CK vuông góc với BC. c) Ta có: - G là giao điểm của BN và AH. - I là giao điểm của KH và CG. - Vì $\Delta NGC = \Delta NGK$, nên GC = GK. - Gọi O là giao điểm của BK và CG, ta có: - Góc BOK = góc COG (góc đối đỉnh) - Góc OBK = góc OCG (góc BCK = 90° và góc GCK = góc GKC) - BK = CG (vì G là giao điểm của BN và AH, và BK = CG) - Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có $\Delta BOK = \Delta COG$. - Do đó, OK = OG và OB = OC. - Vì OB = OC và OK = OG, nên I là trọng tâm của tam giác BCK. Đáp số: a) $\Delta ABH = \Delta ACH$. b) $CK \perp BC$. c) I là trọng tâm của $\Delta BCK$. Bài 4. a) Ta có $\angle ABI=\angle KBI$ (vì BI là tia phân giác của $\angle ABC)$ $\angle IAB=\angle IBK=90^\circ$ (vì IK vuông góc với BC) IB là cạnh chung Suy ra $\Delta IAB=\Delta IKB$ (góc - cạnh - góc) b) Ta có $\angle ACB< \angle ABC$ (vì $AB< AC)$ Mà $\angle IBC=\frac{1}{2}\angle ABC$ (vì BI là tia phân giác của $\angle ABC)$ Suy ra $\angle ACB< \angle IBC$ Suy ra $AI< IC$ (vì trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn sẽ lớn hơn) c) Ta có $\angle IAB=\angle IBK=90^\circ$ (vì IK vuông góc với BC) suy ra $NA//BK$ Mà $BI$ cắt $NA$ và $BK$ nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: $\frac{AN}{NK}=\frac{AI}{IK}$ Mặt khác, ta có $\Delta IAB=\Delta IKB$ (chứng minh ở phần a) suy ra $AI=IK$ suy ra $\frac{AN}{NK}=1$ suy ra $AN=NK$ suy ra $N$ là trung điểm của $AK$ Ta có $BI$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AK$ (vì $BI$ vuông góc với $AK$ tại $I$ và $BI$ chia $AK$ thành hai phần bằng nhau) suy ra $BA=BK$ suy ra $\angle BKA=\angle BAK$ Mà $\angle BKA+\angle BAK=90^\circ$ (vì $\angle BAK=90^\circ)$ suy ra $\angle BKA=\angle BAK=45^\circ$ suy ra $\angle BKN=45^\circ$ suy ra $\angle BKN=\angle BKA$ suy ra $BK$ là đường phân giác của $\angle BKN$ suy ra $BI$ là đường phân giác của $\angle BKN$ suy ra $BI$ vuông góc với $NC$ (vì $BI$ là đường phân giác của $\angle BKN)$ Vậy $BI\bot NC$. Bài 5. a) Vẽ hình: - Vẽ tam giác ABC. - Tìm trung điểm M của cạnh BC. - Tìm trung điểm N của cạnh AC. - Vẽ đường thẳng AM và BN, giao nhau tại điểm I. b) Xác định I là giao điểm của ba đường nào? - Điểm I là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC, cụ thể là AM, BN và đường trung tuyến từ đỉnh C đến trung điểm AB. c) Cho $AM=9~cm.$ Tính IA? - Trong tam giác ABC, M và N là trung điểm của BC và AC соответ. Do đó, AM và BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC. - Giao điểm của ba đường trung tuyến trong một tam giác chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, với phần gần đỉnh gấp đôi phần còn lại. - Vì vậy, IA sẽ bằng $\frac{1}{3}$ của AM. Tính IA: \[ IA = \frac{1}{3} \times AM = \frac{1}{3} \times 9 = 3 \text{ cm} \] Đáp số: IA = 3 cm. Bài 6. a) Ta có: - $\angle ABE = \angle HBE = 90^\circ$ - $AB = HB$ (theo đề bài) - $BE$ chung Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh huyền và một cạnh góc vuông), ta có: $\Delta ABE = \Delta HBE$ Từ đó, ta suy ra: $AE = HE$ (hai cạnh tương ứng) Vậy tam giác AEH cân tại E. b) Ta đã chứng minh $\Delta ABE = \Delta HBE$, do đó: $AH$ chung $AE = HE$ (chứng minh ở phần a) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (hai cạnh và góc giữa chúng), ta có: $\Delta AHE = \Delta HAE$ Từ đó, ta suy ra: $\angle AEB = \angle HEB = 90^\circ$ Vậy BE là đường trung trực của AH. Bài 7. a) Ta có: - $\angle ABD = \angle EBD$ (vì BD là tia phân giác của góc ABC) - BD chung - $\angle BAD = \angle BED = 90^\circ$ (vì DE vuông góc với BC) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh huyền và một góc nhọn), ta có $\Delta ABD = \Delta EBD$. b) Ta có: - $\Delta ABD = \Delta EBD$ (chứng minh ở phần a) - Do đó, AD = ED (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) - Ta cũng có $\angle ADB = \angle EDB$ (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Xét tam giác ADM và tam giác EDM: - AD = ED (chứng minh ở trên) - DM chung - $\angle ADM = \angle EDM$ (chứng minh ở trên) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh kề và hai góc kề), ta có $\Delta ADM = \Delta EDM$. - Từ đó, AM = EM (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Ta có: - $\angle ADB = \angle EDB$ (chứng minh ở trên) - $\angle ADB + \angle EDB = 180^\circ$ (vì chúng là hai góc kề bù) Do đó, $\angle ADB = \angle EDB = 90^\circ$. Điều này chứng tỏ BD là đường trung trực của đoạn thẳng MC (vì BD vuông góc với MC và chia MC thành hai phần bằng nhau). Vậy ta đã chứng minh được $DM = DC$ và BD là đường trung trực của MC. Bài 8. a) Ta có: - $\angle ABD = \angle EBD$ (vì $BA = BE)$ - $BD$ chung - $\angle BAD = \angle BED = 90^\circ$ (vì $DE \perp BC)$ Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ 2 (cạnh kẹp giữa hai góc), ta có $\Delta ADB = \Delta EDB$.