giải = CT Lớp9

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tính toán dựa vào các thông tin đã cho. 1. Xác định hệ tọa độ và phương trình parabol: - Chọn gốc tọa độ O ở giữa hai chân cổng, trục Ox nằm ngang và trục Oy thẳng đứng. - Vì cổng Arch có hình dạng parabol đối xứng qua trục Oy, nên phương trình của parabol có dạng: \( y = ax^2 + bx + c \). 2. Xác định các điểm trên parabol: - Điểm A(-81, 0) và điểm B(81, 0) là hai chân cổng (khoảng cách giữa hai chân là 162 m). - Điểm M(x, 43) là điểm trên thành cổng có độ cao 43 m. - Điểm N(10, 0) là điểm chạm đất của sợi dây thả từ điểm M. 3. Lập phương trình parabol: - Vì parabol đi qua điểm A(-81, 0) và B(81, 0), ta có: \[ 0 = a(-81)^2 + b(-81) + c \quad \text{(1)} \] \[ 0 = a(81)^2 + b(81) + c \quad \text{(2)} \] - Từ (1) và (2), ta thấy \( b = 0 \) (do đối xứng qua trục Oy), và \( c = 0 \) (do đi qua gốc tọa độ). Vậy phương trình parabol là: \[ y = ax^2 \] 4. Tìm giá trị của \( a \): - Điểm M(x, 43) nằm trên parabol, ta có: \[ 43 = a(x)^2 \] - Điểm N(10, 0) là điểm chạm đất của sợi dây thả từ điểm M, ta có: \[ 0 = a(10)^2 \] - Kết hợp hai phương trình trên, ta có: \[ 43 = a(x)^2 \quad \text{(3)} \] \[ 0 = a(10)^2 \quad \text{(4)} \] - Từ (4), ta thấy \( a = 0 \) (không hợp lý vì parabol không tồn tại), do đó ta cần tìm lại giá trị của \( x \) từ (3): \[ x = \sqrt{\frac{43}{a}} \] 5. Tính độ cao của cổng Arch: - Độ cao của cổng Arch là giá trị của \( y \) khi \( x = 0 \): \[ y_{max} = a(0)^2 = 0 \] - Do đó, ta cần tìm lại giá trị của \( a \) từ phương trình \( 43 = a(x)^2 \): \[ a = \frac{43}{x^2} \] - Thay vào phương trình parabol: \[ y = \frac{43}{x^2} \cdot x^2 = 43 \] 6. Kết luận: - Độ cao của cổng Arch là 43 m. Đáp số: Độ cao của cổng Arch là 43 m. Câu 4 a) Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^\circ$ nên tứ giác BFEC nội tiếp (cùng chắn cung BC) b) Ta có $\widehat{BAD}=\widehat{CAM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BD) $\widehat{ABD}=\widehat{ACM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AD) Suy ra $\triangle BAD \sim \triangle CAM$ (g.g) suy ra $\frac{AD}{AM}=\frac{AB}{AC}$ suy ra $AD \times AM = AB \times AC$ Ta có $\widehat{AIB}=\widehat{FID}$ (đối đỉnh) $\widehat{IBA}=\widehat{IDA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) suy ra $\triangle AIB \sim \triangle DIF$ (g.g) suy ra $\frac{AI}{DI}=\frac{BI}{FI}$ suy ra $AI \times FI = BI \times DI$ suy ra $BLHE = IH \times BE$ c) Ta có $\widehat{BND}=\widehat{CKD}=90^\circ$ nên tứ giác BNDK nội tiếp (cùng chắn cung BD) suy ra $\widehat{DNK}=\widehat{DBK}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DK) Mặt khác ta có $\widehat{DBK}=\widehat{DCB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DK) suy ra $\widehat{DNK}=\widehat{DCB}$ suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác DNK đi qua C. Câu 5 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các biến và điều kiện: - Kích thước ban đầu của miếng tôn hình vuông là \( a \) cm. - Cạnh của các hình vuông bị cắt đi là \( x \) cm. - Điều kiện: \( 0 < x < \frac{a}{2} \) (vì nếu \( x \geq \frac{a}{2} \), miếng tôn sẽ không còn đủ để tạo thành hình hộp chữ nhật). 2. Xác định kích thước của hình hộp chữ nhật: - Chiều dài của hình hộp chữ nhật là \( a - 2x \). - Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là \( a - 2x \). - Chiều cao của hình hộp chữ nhật là \( x \). 3. Biểu thức thể tích của hình hộp chữ nhật: \[ V = (a - 2x)(a - 2x)x = x(a - 2x)^2 \] 4. Tìm giá trị của \( x \) để thể tích \( V \) lớn nhất: - Ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị cực đại của \( V \). 5. Khảo sát hàm số \( V(x) = x(a - 2x)^2 \): - Tính đạo hàm của \( V(x) \): \[ V'(x) = (a - 2x)^2 + x \cdot 2(a - 2x)(-2) = (a - 2x)^2 - 4x(a - 2x) \] \[ V'(x) = (a - 2x)(a - 2x - 4x) = (a - 2x)(a - 6x) \] - Tìm điểm cực đại: \[ V'(x) = 0 \Rightarrow (a - 2x)(a - 6x) = 0 \] \[ x = \frac{a}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{a}{6} \] - Vì \( x = \frac{a}{2} \) không thỏa mãn điều kiện \( 0 < x < \frac{a}{2} \), nên ta chỉ xét \( x = \frac{a}{6} \). 6. Kết luận: - Để thể tích của hình hộp chữ nhật lớn nhất, ta phải cắt các hình vuông cạnh \( x = \frac{a}{6} \) cm. Vậy, để hình hộp có thể tích lớn nhất, ta phải cắt các hình vuông cạnh \( x = \frac{a}{6} \) cm.