Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B)...

a) Ta có: $\widehat{AIE} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\widehat{AME} = 90^\circ$ (vì d vuông góc với EI) Do đó, 4 điểm A, M, E, I đồng viên (cùng nằm trên một đường tròn). Tương tự, ta cũng có 4 điểm B, N, E, I đồng viên (cùng nằm trên một đường tròn). b) Ta có: $\widehat{MAE} = \widehat{MEI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ME) $\widehat{MEI} = \widehat{IBE}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) $\widehat{IBE} = \widehat{BNE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BE) Do đó, $\widehat{MAE} = \widehat{BNE}$ Ta cũng có: $\widehat{ABM} = \widehat{EBN}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) Từ đó, ta có $\triangle AME \sim \triangle BNE$ (góc-góc) $\Rightarrow \frac{AM}{BN} = \frac{AE}{BE}$ Mặt khác, ta có: $\widehat{BAE} = \widehat{IBE}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) $\widehat{IBE} = \widehat{EBI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BE) $\widehat{EBI} = \widehat{BAI}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) Do đó, $\widehat{BAE} = \widehat{BAI}$ Ta cũng có: $\widehat{ABE} = \widehat{ABI}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) Từ đó, ta có $\triangle ABE \sim \triangle ABI$ (góc-góc) $\Rightarrow \frac{AE}{BE} = \frac{AI}{BI}$ Từ đây, ta có: $\frac{AM}{BN} = \frac{AI}{BI}$ $\Rightarrow AM.BI = BN.AI$ $\Rightarrow AM.BN = AI.BI$