Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn tâm 0 đường kính BC cắt AB, AC lần lượt D và E. Gọi H là giao điểm của BE và CD. như hình sau a) Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp một đường tròn. b) Chứng minh:...

a) Ta có: $\widehat{BDC} = \widehat{BEC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{BDC} + \widehat{BEC} = 180^\circ$ $\Rightarrow$ Tứ giác ADHE nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°) b) Ta có: $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (cùng bù với $\widehat{HBD}$) $\widehat{BAD} = \widehat{CAE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CE) $\Rightarrow \triangle BAD \sim \triangle CAE$ (g-g) $\Rightarrow \frac{AD}{AE} = \frac{AC}{AB}$ $\Rightarrow AD \cdot AB = AE \cdot AC$ c) Ta có: $\widehat{BDC} = \widehat{BEC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BD^2 = BA \cdot BH$ (giao tuyến) $CE^2 = CA \cdot CH$ (giao tuyến) $\Rightarrow BD \cdot BA + CE \cdot CA = BH \cdot BA + CH \cdot CA$ $= AH \cdot AB + AH \cdot AC$ (giao tuyến) $= AH \cdot (AB + AC)$ $= AH \cdot BC$ (BC là đường kính) $= AH \cdot 2R$ $= 2AH \cdot R$ Mà $AH \leq AO = R$ (đường cao trong tam giác vuông luôn nhỏ hơn hoặc bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp) $\Rightarrow 2AH \cdot R \leq 2R \cdot R = 2R^2$ $\Rightarrow BD \cdot BA + CE \cdot CA \leq 2R^2$