Cho ∆ABC có ba góc nhọn.Hai đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H. Chứng minh:
a)Tứ giác BDCE nội tiếp;tứ giác AEHD nội tiếp
b)AE×AB=AD×AC

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5324109,"userName":"Đan Kim"}

a, Tứ giác BDCE nội tiếp:

$\widehat{BEC} = \widehat{BDC} = 90^\circ \text{ (vì BD, CE là đường cao)}$

Hai đỉnh E và D cùng nhìn cạnh BC dưới góc $90^\circ$

⇒ Tứ giác BDCE nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Tứ giác AEHD nội tiếp:

$\widehat{AEH} + \widehat{ADH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Tổng hai góc đối bằng $180^\circ$

⇒ Tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn.

Xét $\triangle AEB$ và $\triangle ADC$, ta có:

$\widehat{AEB} = \widehat{ADC} = 90^\circ$

$\widehat{A}$ lag góc chung

⇒ $\triangle AEB \sim \triangle ADC$ (g.g).

Từ đồng dạng, ta có: $\frac{AE}{AD} = \frac{AB}{AC}$

⇒ $AE \cdot AC = AD \cdot AB$.

Timi · Answer

a) Ta có $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^\circ$ nên tứ giác BDCE nội tiếp (vì có hai góc kề cạnh chung cùng bằng 90°)
$\widehat{AED}=\widehat{AHC}=90^\circ$ nên tứ giác AEHD nội tiếp (vì có hai góc kề cạnh chung cùng bằng 90°)
b) Từ a) ta có tứ giác BDCE nội tiếp nên $\widehat{EBC}=\widehat{EDC}$ (cùng chắn cung EC)
Mà $\widehat{EBC}=\widehat{ABE}$ (góc cùng đỉnh B)
$\widehat{EDC}=\widehat{ADC}$ (góc cùng đỉnh D)
Nên $\widehat{ABE}=\widehat{ADC}$
Xét tam giác ABE và tam giác ADC có:
$\widehat{BAE}=\widehat{CAD}$ (góc chung)
$\widehat{ABE}=\widehat{ADC}$ (chứng minh trên)
Nên tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADC (g-g)
$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$
Suy ra $AE	imes AB=AD	imes AC$

Cho ∆ABC có ba góc nhọn.Hai đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H. Chứng minh: a)Tứ giác BDCE nội tiếp;tứ giác AEHD nội tiếp b)AE×AB=AD×AC