Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left(3m^2-7m+5\right)x-2011$. CMR hàm số trên luôn đồng biến trên R với mọi $m$.

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Xét tam thức bậc hai $f(m) = 3m^2 - 7m + 5$ có:

Hệ số $a = 3 > 0$.

Biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 49 - 60 = -11$.

Vì $\Delta < 0$ và hệ số $a = 3 > 0$, nên theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta có: $$3m^2 - 7m + 5 > 0 \quad ext{với mọi } m \in \mathbb{R}$$

Vì hệ số góc $a = 3m^2 - 7m + 5$ luôn dương với mọi giá trị của $m$, nên hàm số $y = f(x)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$.

Timi · Answer

Để chứng minh hàm số $ y = f(x) = (3m^2 - 7m + 5)x - 2011 $ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ với mọi $ m $, ta cần chứng minh hệ số góc của hàm số này luôn dương.

Hệ số góc của hàm số $ y = f(x) = ax + b $ là $ a $. Trong trường hợp này, hệ số góc là $ 3m^2 - 7m + 5 $.

Ta cần chứng minh $ 3m^2 - 7m + 5 > 0 $ với mọi $ m $.

Xét biểu thức $ 3m^2 - 7m + 5 $:

$$ 3m^2 - 7m + 5 = 3\left(m^2 - \frac{7}{3}m\right) + 5 $$

Hoàn chỉnh bình phương:

$$ 3\left(m^2 - \frac{7}{3}m + \left(\frac{7}{6}\right)^2 - \left(\frac{7}{6}\right)^2\right) + 5 $$
$$ = 3\left[\left(m - \frac{7}{6}\right)^2 - \left(\frac{7}{6}\right)^2\right] + 5 $$
$$ = 3\left(m - \frac{7}{6}\right)^2 - 3 \cdot \left(\frac{49}{36}\right) + 5 $$
$$ = 3\left(m - \frac{7}{6}\right)^2 - \frac{49}{12} + 5 $$
$$ = 3\left(m - \frac{7}{6}\right)^2 - \frac{49}{12} + \frac{60}{12} $$
$$ = 3\left(m - \frac{7}{6}\right)^2 + \frac{11}{12} $$

Vì $ 3\left(m - \frac{7}{6}\right)^2 \geq 0 $ với mọi $ m $, nên:

$$ 3\left(m - \frac{7}{6}\right)^2 + \frac{11}{12} > 0 $$

Do đó, $ 3m^2 - 7m + 5 > 0 $ với mọi $ m $.

Vậy hàm số $ y = f(x) = (3m^2 - 7m + 5)x - 2011 $ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ với mọi $ m $.

Ng Hương Giang · Answer

minhthu_ · Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

$$3m^2-7m+5=3\left(m^2-\frac{7}{3}m+\frac{5}{3}\right)$$

$$=3\left\lbrack\left(m-\frac{7}{6}\right)^2-\frac{49}{36}+\frac{60}{36}\right\rbrack$$

$$=3\left\lbrack\left(m-\frac{7}{6}\right)^2+\frac{11}{36}\right\rbrack>0$$ ∀ $$m$$

Vậy $$f\left(x\right)$$ đồng biến trên $$R$$ với mọi $$m$$.