Giúp mình với!

Câu 17: a/ Rút gọn biểu thức: $\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}$ Ta có: $\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt{(\sqrt3+1)^2}=\sqrt3+1$ $\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt{(\sqrt3-1)^2}=\sqrt3-1$ Do đó: $\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=(\sqrt3+1)-(\sqrt3-1)=2$ b/ Phân tích thành nhân tử: $\sqrt{14}x^2y^2+3\sqrt2xy+\sqrt7xy+3$ Ta có: $\sqrt{14}x^2y^2+3\sqrt2xy+\sqrt7xy+3=\sqrt2.\sqrt7.x^2y^2+3\sqrt2xy+\sqrt7xy+3$ $=\sqrt2xy.\sqrt7xy+3\sqrt2xy+\sqrt7xy+3$ $=\sqrt2xy(\sqrt7xy+3)+\sqrt7xy+3$ $=(\sqrt7xy+3)(\sqrt2xy+1)$ c/ Tìm x , biết: $\sqrt{x^2}=2x+5$ Ta có: $\sqrt{x^2}=|x|$ Do đó, ta có hai trường hợp: 1. $x \geq 0$: $x=2x+5$ $-x=5$ $x=-5$ (loại vì $x \geq 0$) 2. $x < 0$: $-x=2x+5$ $-3x=5$ $x=-\frac{5}{3}$ Vậy $x=-\frac{5}{3}$. Câu 18: a/ Điều kiện xác định: Biểu thức A có chứa căn thức và phân thức, do đó ta cần tìm điều kiện để các căn thức và phân thức này có nghĩa. - Điều kiện để $\sqrt{x}$ có nghĩa là $x \geq 0$. - Điều kiện để $x + \sqrt{x} - 2 \neq 0$ là $x + \sqrt{x} - 2 \neq 0$. - Điều kiện để $\sqrt{x} + 2 \neq 0$ là $\sqrt{x} + 2 \neq 0$, tức là $x \geq 0$. - Điều kiện để $\sqrt{x} - 1 \neq 0$ là $\sqrt{x} - 1 \neq 0$, tức là $x \neq 1$. Tóm lại, điều kiện xác định của biểu thức A là $x \geq 0$, $x \neq 1$. b/ Rút gọn A: Ta sẽ thực hiện phép biến đổi biểu thức A theo các bước sau: $A = \frac{2x + \sqrt{9x} - 3}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}$ Đầu tiên, ta rút gọn từng phân thức trong biểu thức A: $\frac{2x + \sqrt{9x} - 3}{x + \sqrt{x} - 2} = \frac{2x + 3\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} - 2}$ Tiếp theo, ta rút gọn phân thức thứ hai: $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$ Cuối cùng, ta rút gọn phân thức thứ ba: $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}$ Sau khi rút gọn tất cả các phân thức, ta có: $A = \frac{2x + 3\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}$ c/ Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên: Để A có giá trị nguyên, ta cần tìm giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A có giá trị nguyên. Ta thử các giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức A: - Khi $x = 0$, ta có $A = \frac{2(0) + 3\sqrt{0} - 3}{0 + \sqrt{0} - 2} - \frac{\sqrt{0} + 1}{\sqrt{0} + 2} - \frac{\sqrt{0} - 2}{\sqrt{0} - 1} = \frac{-3}{-2} - \frac{1}{2} - \frac{-2}{-1} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 2 = 1 - 2 = -1$ (nguyên) - Khi $x = 1$, ta có $A = \frac{2(1) + 3\sqrt{1} - 3}{1 + \sqrt{1} - 2} - \frac{\sqrt{1} + 1}{\sqrt{1} + 2} - \frac{\sqrt{1} - 2}{\sqrt{1} - 1} = \frac{2 + 3 - 3}{1 + 1 - 2} - \frac{1 + 1}{1 + 2} - \frac{1 - 2}{1 - 1} = \frac{2}{0} - \frac{2}{3} - \frac{-1}{0}$ (không xác định) Vậy giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên là $x = 0$. Câu 19: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a/ Chứng minh: \(\Delta ABC \sim \Delta AHD\). Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần chỉ ra rằng chúng có hai góc tương ứng bằng nhau. - Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AHD\): - Ta có \(AC\) là đường chéo của hình chữ nhật, do đó \(AC\) là đường trung trực của \(BD\), suy ra \(AB = CD\). - Góc \(\angle BAC = \angle HAD\) (vì cùng phụ với góc \(\angle AHD\)). - Góc \(\angle ABC = \angle AHD = 90^\circ\). Vậy \(\Delta ABC \sim \Delta AHD\) theo trường hợp góc-góc (AA). b/ Chứng minh: \(AD \cdot CH = DC \cdot DH\). - Từ \(\Delta ABC \sim \Delta AHD\), ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng: \[ \frac{AB}{AH} = \frac{BC}{HD} = \frac{AC}{AD} \] - Suy ra: \[ AB \cdot HD = BC \cdot AH \] - Do \(AB = CD\), ta có: \[ CD \cdot HD = BC \cdot AH \] - Từ đó, ta có: \[ AD \cdot CH = DC \cdot DH \] c/ Tính độ dài các đoạn thẳng \(BC\), \(HH'\). - Ta có \(AB = 8\) cm và \(AC = 10\) cm. - Sử dụng định lý Pythagore trong \(\Delta ABC\): \[ BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm} \] - Để tính \(HH'\), ta sử dụng \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\): - \(AH = \frac{AB \cdot AD}{AC} = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}\) - \(HH' = AH = 4.8 \text{ cm}\) d/ Tính tỉ số lượng giác của \(\angle DCH\). - Trong \(\Delta DCH\) vuông tại \(H\), ta có: - \(\tan \angle DCH = \frac{DH}{CH}\) - Từ \(\Delta AHD\), ta có \(DH = \frac{BC \cdot AH}{AB} = \frac{6 \cdot 4.8}{8} = 3.6 \text{ cm}\) - \(CH = \sqrt{DC^2 - DH^2} = \sqrt{6^2 - 3.6^2} = \sqrt{36 - 12.96} = \sqrt{23.04} \approx 4.8 \text{ cm}\) - Vậy: \[ \tan \angle DCH = \frac{3.6}{4.8} = 0.75 \] Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.