Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=1$. Tính GTNN của biểu thức: $B=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}$.

Ta có: $B=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{xy}.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $x^2+y^2\geq 2xy.$ Do đó: $x^2-xy+y^2\geq xy.$ Suy ra: $\frac{1}{x^2-xy+y^2}\leq \frac{1}{xy}.$ Vậy: $B=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{xy}\leq \frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}= \frac{2}{xy}.$ Mặt khác, ta lại có: $1=x+y\geq 2\sqrt{xy}.$ Suy ra: $xy\leq \frac{1}{4}.$ Do đó: $\frac{2}{xy}\geq 8.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 8, đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}.$