đề 2 toán ạ

Bài I: 1) \( (x-3)(2x+4)=0 \) Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu một trong hai nhân tử bằng 0: \[ x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 4 = 0 \] Giải từng trường hợp: \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] \[ 2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 2) \( -2x + 6 \geq 0 \) Chuyển vế và giải bất phương trình: \[ -2x + 6 \geq 0 \implies -2x \geq -6 \implies x \leq 3 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq 3 \] 3) \( \frac{x-7}{2} + \frac{3x-5}{8} > \frac{x}{4} \) Quy đồng mẫu số chung cho tất cả các phân số: \[ \frac{4(x-7)}{8} + \frac{3x-5}{8} > \frac{2x}{8} \] Gộp các phân số lại: \[ \frac{4(x-7) + (3x-5)}{8} > \frac{2x}{8} \] Nhân cả hai vế với 8 để loại bỏ mẫu số: \[ 4(x-7) + (3x-5) > 2x \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 4x - 28 + 3x - 5 > 2x \implies 7x - 33 > 2x \] Chuyển vế và giải bất phương trình: \[ 7x - 2x > 33 \implies 5x > 33 \implies x > \frac{33}{5} \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x > \frac{33}{5} \] Bài II: 1) Với \( x = 16 \): \[ A = \frac{\sqrt{16} - 2}{\sqrt{16} - 3} = \frac{4 - 2}{4 - 3} = \frac{2}{1} = 2 \] 2) Ta có: \[ B = \frac{-9\sqrt{x} + 10}{x - 4} + \frac{3}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \] Ta sẽ biến đổi từng phần: \[ \frac{-9\sqrt{x} + 10}{x - 4} = \frac{-9\sqrt{x} + 10}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ \frac{3}{\sqrt{x} + 2} = \frac{3(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] Cộng lại ta có: \[ B = \frac{-9\sqrt{x} + 10 + 3(\sqrt{x} - 2) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{-9\sqrt{x} + 10 + 3\sqrt{x} - 6 + x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{x - 4\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \] 3) Ta có: \[ P = B : A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} : \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} \] \[ P = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} \] \[ P = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 2} \] Yêu cầu \( P < \frac{1}{2} \): \[ \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 2} < \frac{1}{2} \] Nhân chéo: \[ 2(\sqrt{x} - 3) < \sqrt{x} + 2 \] \[ 2\sqrt{x} - 6 < \sqrt{x} + 2 \] \[ \sqrt{x} < 8 \] \[ x < 64 \] Vậy các giá trị của \( x \) thỏa mãn \( P < \frac{1}{2} \) là \( 0 \leq x < 64 \) và \( x \neq 4 \), \( x \neq 9 \). Bài III: Gọi số sản phẩm tổ thứ nhất sản xuất theo kế hoạch là x (sản phẩm, điều kiện: x > 0). Gọi số sản phẩm tổ thứ hai sản xuất theo kế hoạch là y (sản phẩm, điều kiện: y > 0). Theo đề bài, ta có: - Tổng số sản phẩm theo kế hoạch là 700 sản phẩm, nên ta có phương trình: x + y = 700. - Tổ thứ nhất vượt mức 20%, tức là sản xuất được 120% kế hoạch, tức là 1,2x sản phẩm. - Tổ thứ hai giảm mức 10%, tức là sản xuất được 90% kế hoạch, tức là 0,9y sản phẩm. - Tổng số sản phẩm thực tế là 720 sản phẩm, nên ta có phương trình: 1,2x + 0,9y = 720. Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 700 \\ 1,2x + 0,9y = 720 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 0,9 để dễ dàng giải hệ phương trình: \[ 0,9(x + y) = 0,9 \times 700 \implies 0,9x + 0,9y = 630 \] Bây giờ ta có hệ phương trình mới: \[ \begin{cases} 0,9x + 0,9y = 630 \\ 1,2x + 0,9y = 720 \end{cases} \] Trừ phương trình đầu tiên từ phương trình thứ hai: \[ (1,2x + 0,9y) - (0,9x + 0,9y) = 720 - 630 \implies 0,3x = 90 \implies x = 300 \] Thay x = 300 vào phương trình x + y = 700: \[ 300 + y = 700 \implies y = 400 \] Vậy theo kế hoạch, tổ thứ nhất sản xuất 300 sản phẩm và tổ thứ hai sản xuất 400 sản phẩm. Bài IV: 1) Tính quãng đường tàu ngầm đi được: Khi tàu ngầm lặn xuống độ sâu 100 mét, ta có thể sử dụng định lý sin trong tam giác vuông để tính quãng đường tàu đi được. Gọi quãng đường tàu ngầm đi được là \( s \). Trong tam giác vuông, ta có: \[ \sin 30^\circ = \frac{\text{độ sâu}}{s} \] Với \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) và độ sâu là 100 mét, ta có: \[ \frac{1}{2} = \frac{100}{s} \] Giải phương trình trên, ta được: \[ s = 100 \times 2 = 200 \text{ mét} \] Vậy quãng đường tàu ngầm đi được là 200 mét. 2) Chứng minh hình học: a) Chứng minh tứ giác \(AAEB\) là hình chữ nhật: - Do \(AB\) là đường kính của nửa đường tròn, nên \(\angle ADB = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Vì \(C\) là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \(A\) và \(D\), nên \(\angle CAD = \angle CDA = 90^\circ\). Vậy tứ giác \(AAEB\) có ba góc vuông, do đó nó là hình chữ nhật. b) Chứng minh \(CE \cdot CB = CA^2\) và \(\angle EDE = \angle EBD\): - Do \(C\) là giao điểm của hai tiếp tuyến, nên \(CA = CD\). - Theo định lý tiếp tuyến, ta có \(CE \cdot CB = CA^2\). - \(\angle EDE = \angle EBD\) do \(E\) và \(D\) cùng nằm trên nửa đường tròn và \(BD\) là tiếp tuyến. c) Chứng minh ba điểm \(B, I, C\) thẳng hàng: - Gọi \(I\) là trung điểm của \(DF\). - Do \(F\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AB\), nên \(DF\) vuông góc với \(AB\). - Vì \(C\) là giao điểm của hai tiếp tuyến, nên \(BC\) là đường trung trực của \(DF\). Vậy ba điểm \(B, I, C\) thẳng hàng. Bài V: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều ngang và chiều dọc của trang giấy sao cho diện tích của trang giấy là nhỏ nhất, trong khi vẫn đảm bảo diện tích phần chữ là $384~cm^2$. Gọi chiều ngang của phần chữ là \( x \) (cm) và chiều dọc của phần chữ là \( y \) (cm). Khi đó, diện tích phần chữ là: \[ x \cdot y = 384 \] Do đó, ta có phương trình: \[ y = \frac{384}{x} \] Trang giấy có lề trên và lề dưới là 3 cm, lề phải và lề trái là 2 cm. Vậy chiều ngang của trang giấy là \( x + 2 + 2 = x + 4 \) (cm) và chiều dọc của trang giấy là \( y + 3 + 3 = y + 6 \) (cm). Diện tích của trang giấy là: \[ (x + 4)(y + 6) \] Thay \( y = \frac{384}{x} \) vào biểu thức diện tích trang giấy, ta có: \[ (x + 4)\left(\frac{384}{x} + 6\right) \] \[ = (x + 4)\left(\frac{384}{x}\right) + (x + 4) \cdot 6 \] \[ = 384 + \frac{1536}{x} + 6x + 24 \] \[ = 6x + \frac{1536}{x} + 408 \] Để diện tích trang giấy là nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[ A = 6x + \frac{1536}{x} \] Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \( 6x \) và \( \frac{1536}{x} \): \[ 6x + \frac{1536}{x} \geq 2\sqrt{6x \cdot \frac{1536}{x}} = 2\sqrt{9216} = 192 \] Dấu "=" xảy ra khi: \[ 6x = \frac{1536}{x} \] Giải phương trình: \[ 6x^2 = 1536 \] \[ x^2 = 256 \] \[ x = 16 \] (vì \( x > 0 \)) Khi \( x = 16 \), ta có: \[ y = \frac{384}{x} = \frac{384}{16} = 24 \] Vậy chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là \( x + 4 = 20 \) cm và \( y + 6 = 30 \) cm.