giải các bài toán sau

Bài 1: 1) $\left\{\begin{array}{l}x-y=3(1)\\3x-4y=2(2)\end{array}\right.$ Từ (1) ta có $x=y+3$ Thay vào (2) ta có $3(y+3)-4y=2$ $\Leftrightarrow 3y+9-4y=2$ $\Leftrightarrow -y=-7$ $\Leftrightarrow y=7$ Với $y=7$ thay vào $x=y+3$ ta được $x=10$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(10,7)$ 2) $\left\{\begin{array}{l}2x+y=5(1)\\5x-2y=8(2)\end{array}\right.$ Từ (1) ta có $y=5-2x$ Thay vào (2) ta có $5x-2(5-2x)=8$ $\Leftrightarrow 5x-10+4x=8$ $\Leftrightarrow 9x=18$ $\Leftrightarrow x=2$ Với $x=2$ thay vào $y=5-2x$ ta được $y=1$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(2,1)$ 3) $\left\{\begin{array}{l}-5x+2y=4(1)\\6x-3y=-7(2)\end{array}\right.$ Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 ta được: $\left\{\begin{array}{l}-15x+6y=12\\12x-6y=-14\end{array}\right.$ Cộng từng vế hai phương trình trên ta được: $-3x=-2$ $\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$ Với $x=\frac{2}{3}$ thay vào $-5x+2y=4$ ta được $-\frac{10}{3}+2y=4$ $\Leftrightarrow 2y=\frac{22}{3}$ $\Leftrightarrow y=\frac{11}{3}$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(\frac{2}{3},\frac{11}{3})$ Bài 1: Gọi năng suất dự định của công nhân là x (sản phẩm/giờ, điều kiện: x > 0). Thời gian dự định làm 14 sản phẩm là $\frac{14}{x}$ (giờ). Thực tế, công nhân đã làm 21 sản phẩm với năng suất là x + 3 (sản phẩm/giờ). Thời gian thực tế làm 21 sản phẩm là $\frac{21}{x+3}$ (giờ). Theo đề bài, thời gian thực tế bằng thời gian dự định: $\frac{14}{x} = \frac{21}{x+3}$ Nhân chéo để giải phương trình: 14(x + 3) = 21x 14x + 42 = 21x 42 = 21x - 14x 42 = 7x x = 6 Vậy năng suất dự định của công nhân là 6 sản phẩm/giờ. Bài 2: Gọi tốc độ của dòng nước là x (km/h, điều kiện: x > 0). Tốc độ của ca nô khi xuôi dòng là: 27 + x (km/h). Tốc độ của ca nô khi ngược dòng là: 27 - x (km/h). Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B là: $\frac{40}{27 + x}$ (giờ). Thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về A là: $\frac{40}{27 - x}$ (giờ). Theo đề bài, tổng thời gian đi và về là 3 giờ, ta có phương trình: $\frac{40}{27 + x} + \frac{40}{27 - x} = 3$. Quy đồng mẫu số và giải phương trình: $\frac{40(27 - x) + 40(27 + x)}{(27 + x)(27 - x)} = 3$. Rút gọn: $\frac{40 \cdot 27 - 40x + 40 \cdot 27 + 40x}{729 - x^2} = 3$. Tiếp tục rút gọn: $\frac{2160}{729 - x^2} = 3$. Nhân chéo để giải phương trình: 2160 = 3(729 - x^2). Chia cả hai vế cho 3: 720 = 729 - x^2. Chuyển 729 sang vế trái: -x^2 = 720 - 729. -x^2 = -9. Nhân cả hai vế với -1: x^2 = 9. Lấy căn bậc hai của cả hai vế: x = 3 hoặc x = -3. Do tốc độ của dòng nước phải dương, nên ta chọn x = 3. Vậy tốc độ của dòng nước là 3 km/h. Bài 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài cạnh của khu đất hình vuông, biết rằng một phần của khu đất được dành để làm bể bơi hình chữ nhật có diện tích $1250~cm^2$. Giả sử độ dài cạnh của khu đất hình vuông là $x$ (đơn vị: cm, điều kiện: $x > 0$). Vì bể bơi có dạng hình chữ nhật và nằm ở góc của khu đất hình vuông, nên diện tích của bể bơi là một phần của diện tích khu đất. Diện tích của khu đất hình vuông là $x^2$. Do không có thông tin cụ thể về kích thước của bể bơi, ta chỉ biết diện tích của nó là $1250~cm^2$. Vì vậy, ta không thể xác định chính xác kích thước của bể bơi, nhưng ta biết rằng diện tích của bể bơi phải nhỏ hơn hoặc bằng diện tích của khu đất. Do đó, ta có bất phương trình: \[ 1250 \leq x^2 \] Giải bất phương trình này, ta có: \[ x^2 \geq 1250 \] Lấy căn bậc hai hai vế, ta được: \[ x \geq \sqrt{1250} \] Tính giá trị gần đúng của $\sqrt{1250}$: \[ \sqrt{1250} \approx 35.36 \] Vì $x$ là độ dài cạnh của khu đất hình vuông và phải là một số nguyên, nên $x$ phải là số nguyên lớn hơn hoặc bằng $36$. Vậy độ dài cạnh của khu đất đó ít nhất là $36~cm$. Bài 4: Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy là $v$ (km/h) và thời gian dự định là $t$ (giờ). Khi vận tốc tăng thêm 14 km/h, vận tốc mới là $v + 14$ (km/h) và thời gian đi là $t - 2$ (giờ). Ta có phương trình: $vt = (v + 14)(t - 2)$ Khi vận tốc giảm đi 4 km/h, vận tốc mới là $v - 4$ (km/h) và thời gian đi là $t + 1$ (giờ). Ta có phương trình: $vt = (v - 4)(t + 1)$ Bây giờ ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình đầu tiên: $vt = vt + 14t - 2v - 28$ $0 = 14t - 2v - 28$ $2v = 14t - 28$ $v = 7t - 14$ Từ phương trình thứ hai: $vt = vt - 4t + v - 4$ $0 = -4t + v - 4$ $v = 4t + 4$ Bây giờ ta sẽ giải hệ phương trình: $7t - 14 = 4t + 4$ $3t = 18$ $t = 6$ Thay $t = 6$ vào phương trình $v = 4t + 4$: $v = 4(6) + 4$ $v = 24 + 4$ $v = 28$ Vậy vận tốc dự định của người đi xe máy là 28 km/h và thời gian dự định là 6 giờ. Bài 5: Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ) và thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là y (giờ) (điều kiện: x > 0, y > 0). Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể và vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể. Theo đề bài, hai vòi cùng chảy trong 5 giờ thì đầy bể, ta có phương trình: $\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 1$. Ngoài ra, nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nước, ta có phương trình: $\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{2}{3}$. Ta có hệ phương trình: $\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 1$, $\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{2}{3}$. Nhân phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với 5, ta được: $\frac{15}{x} + \frac{15}{y} = 3$, $\frac{15}{x} + \frac{20}{y} = \frac{10}{3}$. Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai, ta được: $\frac{5}{y} = \frac{10}{3} - 3$, $\frac{5}{y} = \frac{10}{3} - \frac{9}{3}$, $\frac{5}{y} = \frac{1}{3}$, $y = 15$. Thay $y = 15$ vào phương trình $\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 1$, ta được: $\frac{5}{x} + \frac{5}{15} = 1$, $\frac{5}{x} + \frac{1}{3} = 1$, $\frac{5}{x} = 1 - \frac{1}{3}$, $\frac{5}{x} = \frac{2}{3}$, $x = \frac{15}{2}$. Vậy thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là $\frac{15}{2}$ giờ và thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là 15 giờ. Bài 6: Gọi thời gian để tổ I làm riêng xong công việc là x (giờ, điều kiện: x > 12). Gọi thời gian để tổ II làm riêng xong công việc là y (giờ, điều kiện: y > 12). Trong 1 giờ, tổ I làm được $\frac{1}{x}$ công việc. Trong 1 giờ, tổ II làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Trong 1 giờ, cả hai tổ làm được $\frac{1}{6}$ công việc. Ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ Sau 2 giờ làm chung, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Vậy trong 2 giờ, tổ I và tổ II đã làm được $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ công việc. Công việc còn lại là $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ công việc. Trong 10 giờ, tổ I làm được $\frac{10}{x}$ công việc. Ta có phương trình: $\frac{10}{x} = \frac{2}{3}$ Giải phương trình này, ta được: $x = 15$ Thay x = 15 vào phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$, ta được: $\frac{1}{15} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ Giải phương trình này, ta được: $y = 10$ Vậy nếu mỗi tổ làm riêng thì tổ I sẽ mất 15 giờ và tổ II sẽ mất 10 giờ để hoàn thành công việc đó. Bài 7: Gọi giá ban đầu của quyển từ điển là x (nghìn đồng, điều kiện: 0 < x < 750). Giá ban đầu của món đồ chơi là 750 - x (nghìn đồng). Giá quyển từ điển sau khi giảm 20% là: \[ x - 0,2x = 0,8x \] Giá món đồ chơi sau khi giảm 10% là: \[ (750 - x) - 0,1(750 - x) = 0,9(750 - x) \] Tổng số tiền thực tế Bình đã trả là 630 nghìn đồng, ta có phương trình: \[ 0,8x + 0,9(750 - x) = 630 \] Nhân phân phối và rút gọn: \[ 0,8x + 675 - 0,9x = 630 \] \[ -0,1x + 675 = 630 \] \[ -0,1x = 630 - 675 \] \[ -0,1x = -45 \] \[ x = 450 \] Vậy giá ban đầu của quyển từ điển là 450 nghìn đồng. Giá ban đầu của món đồ chơi là: \[ 750 - 450 = 300 \text{ nghìn đồng} \] Đáp số: Quyển từ điển: 450 nghìn đồng; Món đồ chơi: 300 nghìn đồng. Bài 8: Gọi số tiền cô Linh đầu tư vào khoản đầu tư thứ nhất là x (triệu đồng, điều kiện: 0 < x < 500). Số tiền cô Linh đầu tư vào khoản đầu tư thứ hai là 500 - x (triệu đồng). Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 5% /năm nên số tiền lãi thu được từ khoản đầu tư thứ nhất sau một năm là 0,05x (triệu đồng). Lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là 6% /năm nên số tiền lãi thu được từ khoản đầu tư thứ hai sau một năm là 0,06(500 - x) (triệu đồng). Tổng số tiền lãi thu được sau một năm là 28 triệu đồng, ta có phương trình: 0,05x + 0,06(500 - x) = 28 Giải phương trình trên: 0,05x + 30 - 0,06x = 28 -0,01x = -2 x = 200 Vậy số tiền cô Linh đầu tư vào khoản đầu tư thứ nhất là 200 triệu đồng. Số tiền cô Linh đầu tư vào khoản đầu tư thứ hai là 500 - 200 = 300 (triệu đồng). Đáp số: Khoản đầu tư thứ nhất: 200 triệu đồng; Khoản đầu tư thứ hai: 300 triệu đồng. Bài 8: Gọi điểm số môn Tiếng Anh tối thiểu mà bạn Nam phải đạt là x (điều kiện: 0 ≤ x ≤ 10). Điểm trung bình của ba môn ít nhất bằng 8 nên ta có bất phương trình: $\frac{2 × 9,1 + 2 × 6,9 + x}{5} ≥ 8$ Giải bất phương trình trên, ta được: (18,2 + 13,8 + x) : 5 ≥ 8 (32 + x) : 5 ≥ 8 32 + x ≥ 40 x ≥ 8 Vậy điểm số tối thiểu môn Tiếng Anh mà bạn Nam phải đạt là 8. Bài 9: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số tiền gửi tiết kiệm tối thiểu sao cho lãi suất hàng tháng ít nhất là 3 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng. Bước 1: Xác định công thức tính lãi suất hàng tháng. Lãi suất hàng tháng = Số tiền gửi × Lãi suất Bước 2: Thiết lập phương trình để tìm số tiền gửi tối thiểu. Gọi số tiền gửi là \( x \) (triệu đồng). Lãi suất hàng tháng = \( x \times 0,4\% \) Bước 3: Thiết lập phương trình để lãi suất hàng tháng ít nhất là 3 triệu đồng. \( x \times 0,4\% \geq 3 \) Bước 4: Chuyển đổi phần trăm thành số thập phân. \( 0,4\% = 0,004 \) Bước 5: Giải phương trình. \( x \times 0,004 \geq 3 \) \( x \geq \frac{3}{0,004} \) \( x \geq 750 \) Bước 6: Kết luận. Số tiền gửi tiết kiệm tối thiểu là 750 triệu đồng. Đáp số: 750 triệu đồng. Bài 10: 1) \( 2\sqrt{75} - 5\sqrt{27} - \sqrt{192} + 4\sqrt{48} \) Ta sẽ rút gọn từng hạng tử: - \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) - \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \) - \( \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \) - \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) Thay vào biểu thức ta có: \[ 2(5\sqrt{3}) - 5(3\sqrt{3}) - 8\sqrt{3} + 4(4\sqrt{3}) \] \[ = 10\sqrt{3} - 15\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} \] \[ = (10 - 15 - 8 + 16)\sqrt{3} \] \[ = 3\sqrt{3} \] 2) \( 5\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 2\sqrt{108} - \sqrt{192} \) Ta sẽ rút gọn từng hạng tử: - \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \) - \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \) - \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \) - \( \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \) Thay vào biểu thức ta có: \[ 5(2\sqrt{3}) + 3(3\sqrt{3}) - 2(6\sqrt{3}) - 8\sqrt{3} \] \[ = 10\sqrt{3} + 9\sqrt{3} - 12\sqrt{3} - 8\sqrt{3} \] \[ = (10 + 9 - 12 - 8)\sqrt{3} \] \[ = -1\sqrt{3} \] \[ = -\sqrt{3} \] 3) \( 2\sqrt{48} + 4\sqrt{27} + \sqrt{75} + 2\sqrt{3} \) Ta sẽ rút gọn từng hạng tử: - \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) - \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \) - \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) - \( \sqrt{3} = \sqrt{3} \) Thay vào biểu thức ta có: \[ 2(4\sqrt{3}) + 4(3\sqrt{3}) + 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \] \[ = 8\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \] \[ = (8 + 12 + 5 + 2)\sqrt{3} \] \[ = 27\sqrt{3} \]