Bài toán cho:
- Hai vật A và B có khối lượng m = 1 kg mỗi vật.
- Vật B tích điện q = 10^{-6} C, vật A không nhiễm điện.
- Hai vật nối với nhau bằng dây nhẹ dài 10 cm = 0,1 m.
- Vật A gắn vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 10 N/m.
- Điện trường đều E = 10^5 V/m, hướng dọc theo trục lò xo.
- Ban đầu hệ nằm yên, lò xo bị giãn.
- Sau đó cắt dây nối hai vật, cố định đầu tiếp xúc vật B.
- Yêu cầu: Khi lò xo có chiều dài ngắn nhất lần đầu tiên thì khoảng cách giữa A và B là bao nhiêu?
---
**Phân tích và giải:**
1. **Ban đầu hệ nằm yên, lò xo giãn:**
- Gọi vị trí cân bằng ban đầu của vật B là gốc tọa độ O.
- Vật B bị điện trường tác dụng lực điện F_B = qE = 10^{-6} * 10^5 = 0,1 N theo chiều điện trường.
- Vật A không tích điện, nên không chịu lực điện.
- Hai vật nối với nhau bằng dây dài 0,1 m.
- Lò xo nối với vật A có độ cứng k = 10 N/m.
Giả sử trục Ox là hướng của lò xo và điện trường.
Gọi x_A và x_B là vị trí của vật A và B trên trục Ox.
- Dây không giãn, nên |x_A - x_B| = 0,1 m.
- Vật A gắn với lò xo, đầu còn lại của lò xo cố định.
Gọi vị trí đầu cố định của lò xo là O'.
Vậy lò xo bị giãn ra một độ dài L = |x_A - O'|.
---
2. **Xác định vị trí cân bằng ban đầu:**
- Vật B chịu lực điện F_B = qE = 0,1 N dương (theo chiều Ox).
- Vật A không chịu lực điện, chỉ chịu lực đàn hồi lò xo.
- Lực dây căng giữ khoảng cách 0,1 m.
Ở trạng thái cân bằng, hệ đứng yên, tổng lực trên mỗi vật bằng 0.
- Lực tác dụng lên vật B:
Chỉ có lực điện F_B và lực căng dây T.
Lấy chiều Ox từ trái sang phải.
Gọi T là lực căng dây, hướng từ B sang A (giữ dây không giãn).
Trên vật B:
F_B (theo Ox) = 0,1 N về bên phải.
T (theo chiều dây) sẽ kéo vật B về phía A (có thể sang trái).
Cân bằng cho vật B:
T - F_B = 0 => T = F_B = 0,1 N.
- Trên vật A:
Lực do dây kéo vật A về phía B: T = 0,1 N (theo chiều dây từ A sang B).
Lực lò xo tác dụng lên A: F_s = -k * (x_A - O') (lực kéo về vị trí tự nhiên của lò xo).
Cân bằng cho vật A:
F_s + T = 0 => -k(x_A - O') + T = 0
=> k(x_A - O') = T = 0,1 N
=> x_A - O' = 0,1 / k = 0,1 / 10 = 0,01 m.
Vậy lò xo bị dãn 0,01 m (1 cm) so với vị trí tự nhiên.
- Khoảng cách dây: |x_A - x_B| = 0,1 m => x_B = x_A - 0,1 = (O' + 0,01) - 0,1 = O' - 0,09 m.
Vậy vị trí B nằm bên trái vị trí cố định của lò xo O' một đoạn 0,09 m.
Tóm lại:
x_A = O' + 0,01 m
x_B = O' - 0,09 m
---
3. **Sau khi cắt dây nối, cố định đầu tiếp xúc vật B:**
- Cắt dây nối A và B, tức A và B không liên kết cơ học nữa.
- Đầu tiếp xúc với vật B cố định, tức vật B đứng yên tại vị trí ban đầu x_B = O' - 0,09 m.
- Vật A lúc này chỉ chịu lực lò xo và lực điện (vật A không tích điện nên lực điện = 0).
- Vì B cố định nên lò xo nối vật A đến điểm cố định là O'.
- Ban đầu lò xo bị giãn 0,01 m (từ bước trên).
- Khi đó, vị trí vật A ban đầu: x_A = O' + 0,01 m.
- Vật A sẽ dao động với lực hồi phục lò xo và không chịu lực điện.
---
4. **Xác định khoảng cách A và B khi lò xo có chiều dài ngắn nhất lần đầu:**
- Vật B đứng yên tại x_B = O' - 0,09 m.
- Vật A dao động điều hòa dọc trục lò xo quanh vị trí cân bằng mới x_0 = O' (vị trí tự nhiên của lò xo, vì lò xo có độ dài tự nhiên tại O').
- Dao động điều hòa của A có phương trình:
x_A(t) = x_0 + A \cos(\omega t + \phi)
- Ban đầu tại t=0, x_A(0) = O' + 0,01 m
=> A \cos \phi = 0,01 m
- Vận tốc ban đầu của A tại t=0: vì ban đầu đứng yên => v_A(0) = 0
v_A(t) = - A \omega \sin(\omega t + \phi)
v_A(0) = - A \omega \sin \phi = 0
=> \sin \phi = 0
=> \phi = 0 hoặc \pi
Nếu \phi = 0 thì A = 0,01 m.
Chọn \phi = 0.
- Chu kì dao động của vật A:
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{10}{1}} = \sqrt{10} rad/s
- Khoảng cách giữa A và B:
d(t) = |x_A(t) - x_B| = |(O' + A \cos(\omega t)) - (O' - 0,09)| = |A \cos(\omega t) + 0,09|.
- Chiều dài lò xo lúc đó là L(t) = |x_A(t) - O'| = |A \cos(\omega t)|.
- Chiều dài lò xo ngắn nhất lần đầu tiên nghĩa là L(t) nhỏ nhất khác 0 và lần đầu tiên.
- Vì dao động cos nên giá trị nhỏ nhất là -A.
Nhưng chiều dài lò xo là đại lượng dương nên:
L(t) min = 0
tại \cos(\omega t) = 0
Giá trị nhỏ nhất lần đầu tiên là khi \cos(\omega t) = 0, tức
\omega t = \pi/2
t = \frac{\pi}{2 \omega}.
- Thay vào d(t):
d_{\min} = |A \cos(\omega t) + 0,09| = |0 + 0,09| = 0,09 m.
---
**Kết luận:**
Khi lò xo có chiều dài ngắn nhất lần đầu tiên thì khoảng cách giữa hai vật A và B là:
\boxed{0,09~m = 9~cm.}
---
**Tóm tắt:**
- Ban đầu dây dài 10 cm, lò xo dãn 1 cm.
- Sau khi cắt dây, vật B cố định, vật A dao động quanh vị trí đầu lò xo.
- Khi lò xo ngắn nhất (lần đầu tiên), A nằm tại vị trí đầu lò xo, cách vật B một đoạn 9 cm.
---
**Trả lời:**
Khoảng cách giữa hai vật A và B khi lò xo có chiều dài ngắn nhất lần đầu tiên là 9 cm.